عد مرکب در دنباله

M_Sharifi · 1389/2/24

یه سوال:
دنباله ی

$x_0,x_1,x_2,\ldots$

به صورت

[center:353717b880]

$x_0=p,\quad x_{n+1}=qx_n+q-1$

[/center:353717b880]
تعریف شده است، که

$p$

عددی اول و

$q\geq2$

عددی طبیعی است. ثابت کنید دنباله شامل فقط اعداد اول نیست.

shoki · 1389/2/24

مطمئنید صورت سوال رو درست نوشتید ... آخه خیلی تابلوه ... شایدم قرار بوده توی قسمت پیشرفته اینو بفرستید

M_Sharifi · 1389/2/24

shoki گفت

سوال چندان سختی نیست. ولی اثباتت رو بنویس.
ضمن این که به طور کلی برای هر دنباله ی

$x_0=p,~x_{n+1}=qx_n+r$

، که

$p,q,r$

اعدادی طبیعی باشند، بی نهایت عدد مرکب در دنباله وجود داره.

shoki · 1389/2/24

آخه من نمی دونم ... شاید من دارم یه اشتباه وحشتناکی می کنم :
یک واحد به همه ی اندیس ها اضافه می کنیم یعنی داریم :

$x_1=p$

و حالا شکل کلی دنباله اینه :

$x_n=q^{n-1}(p+1)-1$

. اینو که اشتباه نمی کنم ... با استقرا هم تابلوه. حالا اگه

$x_n=q^{n-1}(p+1)-1=s$

عددی اول بود اونوقت بدیهیه که

$x_{n+k.ord_{s}(q)}=q^{n-1+k.ord_{s}(q)}(p+1)-1$

بر s بخش پذیر بوده و دیگر عدد اول نیست ...

M_Sharifi · 1389/2/24

shoki گفت

درسته دیگه. در واقع برای همه ی حالت ها این استدلال جواب میده (مگه

$q=1$

که اون وقت حکم بدیهیه).

shoki · 1389/2/24

اصلا یه چیزو پاک یادمون رفته بودا

!!! در واقع حکمتون برای هر دنباله به صورت :

$x_n=a_1x_{n-1}+...+a_{n-k}x_k+b$

برقراره