فرض كنيد x,y,z عددهايي حقيقي و...

Olympiad · 1389/1/12

فرض كنيد

$x,y,z$

عدد هايي حقيقي و مثبت باشند كه

$x^4+y^4+z^4=1$

. كمترين مقدار عبارت

$\frac{x^3}{1-x^8}+\frac{y^3}{1-y^8}+\frac{z^3}{1-z^8}$

را بيابيد.

Olympiad · 1389/1/13

آقاي شريفي لطفا حل كنيد.

M_Sharifi · 1389/1/13

فرض می کنیم

$x=\frac a{\root4\of 3},\ldots$

. در این صورت

$a^4+b^4+c^4=3$

و باید حداقل عبارت

[center:1d24b253b9]

$\frac9{\root4\of{27}}\sum \frac {a^3}{9-a^8}$

را به دست آوریم. طبق نابرابری کوشی-شوارتز،

$\sum \frac {a^3}{9-a^8}\sum a^5(9-a^8)\geq\left(\sum a^4 \right )^2=9$

از طرفی طبق نابرابری میانگین حسابی-هندسی،

[/center:1d24b253b9]

[center:1d24b253b9]

$a^{13}+8a^4\geq9a^5\Rightarrow\sum a^5(9-a^8)\leq8\sum a^4=24$

بنابراین

$\sum \frac {a^3}{9-a^8}\geq\frac38\Rightarrow\min\left\{\sum\frac{x^3}{1-x^8} \right\}=\frac{27}{8\root4\of{27}}$

[/center:1d24b253b9]