قضیه ای معروف و به ظاهر بدیهی درباره ی مجموع ارقام اعداد

hkh74 · 1390/11/28

اگر m,n دو عدد طبیعی باشند، آنگاه

$s(m+n)\leq s(m)+s(n)$

(

$s(n)$

مجموع ارقام عدد طبیعی n است)

این قضیه کاملا شناخته شده و بدیهی است. چون اثبات این قضیه رو جایی ندیدم یک اثبات مقدماتی (و نسبتا طولانی) رو اینجا می نویسم.

اول

$s(n)$

رو بر حسب n محاسبه می کنیم:

اگر

$n=\sum_{i=0}^{\infty }{(10^i a_i)}$

که

$0\leq a_i\leq 9$

نمایش n در مبنای 10 باشد (

$a_i$

ها از جایی به بعد، همگی صفرند) :

$\left [\frac{n}{10^t} \right ]=\sum_{i=t}^{\infty }{(10^{i-t} a_i)} \\ \Rightarrow \left [\frac{n}{10^t} \right ]-10\left [\frac{n}{10^{t+1}} \right ]=\sum_{i=t}^{\infty }{(10^{i-t} a_i)}-10\sum_{i=t+1}^{\infty }{(10^{i-t-1} a_i)}\\=a_t+\sum_{i=t+1}^{\infty }{(10^{i-t} a_i)}-\sum_{i=t+1}^{\infty }{(10^{i-t} a_i)}=a_t$

پس

$s(n)=\sum_{i=0}^{\infty }{a_i}=\sum_{i=0}^{\infty }{\left (\left [\frac{n}{10^i} \right ]-10\left [\frac{n}{10^{i+1}} \right ] \right )}=n+\sum_{i=0}^{\infty }{\left (\left [\frac{n}{10^{i+1}} \right ]-10\left [\frac{n}{10^{i+1}} \right ] \right )}\\\Rightarrow s(n)=n-9\sum_{i=0}^{\infty }\left [\frac{n}{10^i} \right ]$

( اگر دقت کنید ثابت شد

$s(n)\equiv n\textrm{ (mod 9)}$

) اکنون برای اثبات قضیه از نامساوی

$[x+y]\geq [x]+[y]$

کمک می گیریم (که اثبات ساده ای دارد) و برای هر x,y حقیقی برقرار است.

$s(m+n)=m+n-9\sum_{i=0}^{\infty }\left [\frac{m+n}{10^i} \right ]\leq m+n-9\sum_{i=0}^{\infty }{\left (\left [\frac{m}{10^i} \right ]+\left [\frac{n}{10^i} \right ] \right )}\\=m-9\sum_{i=0}^{\infty }\left [\frac{m}{10^i} \right ]+n-9\sum_{i=0}^{\infty }\left [\frac{n}{10^i} \right ]=s(m)+s(n)\\ \Rightarrow s(m+n)\leq s(m)+s(n)$

و اثبات به پایان می رسد.

fereidoon · 1390/11/28

پاسخ : قضیه ای معروف و به ظاهر بدیهی درباره ی مجموع ارقام اعداد

خیلی ممنون،ولی اگه اشتباه نکنم،توی کتاب 104 مسئله نظریه اعداد(titu) یه راه حل با استقرای قوی داره.

tangent · 1390/11/29

پاسخ : قضیه ای معروف و به ظاهر بدیهی درباره ی مجموع ارقام اعداد

تو رقابت های المپیاد ریاضی یک راه حل زیبا با لگاریتم واسش هست.تیتو

MBGO · 1390/11/29

پاسخ : قضیه ای معروف و به ظاهر بدیهی درباره ی مجموع ارقام اعداد

سلام دوست عزیز
تو این لینک یه جواب داده براش
AoPS Forum - Sum of disgits • Art of Problem Solving
باتشکر
ماهان بابلیان

قضیه ای معروف و به ظاهر بدیهی درباره ی مجموع ارقام اعداد

hkh74

New Member

fereidoon

Active Member

tangent

New Member

MBGO

New Member