قضیه ی اساسی جبر

Aref · 1391/3/17

فرض کنید

$P\in \mathbb C[x]$

یک چند جمله ای است. ثابت کنید این چند جمله ای ریشه دارد.

* لینک ندید به جایی لطفا.

ash1374 · 1391/3/18

پاسخ : قضیه ی اساسی جبر

یه اثبات فوق العاده. گر چه به درد المپیاد نمی خوره ولی چون خیلی حد اقل برای خودم شگفت انگیزه گفتم بد نیست بگمش. اثبات رو از جایی بازنویسی می کنم.

$P(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}$

برهان خلف می زنیم. فرض کنید ریشه نداره. لذا تابع پیوسته ی

$f:\mathbb{C} \to S^{1}$

به صورت زیر در تمام نقاط قابل تعریفه.(S[SUP]1[/SUP] مرز دایره واحده)

$f(x)=\frac{P(x)}{|P(x)|}$

حالا فرض کنید S دیسکی به مرکز مبدا مختصات صفحه ی مختلط و شعاع به اندازه ی کافی بزرگ R باشد. طبق قضیه ای(غیر مقدماتی) می دانیم درجه ی(عدد چرخش) f روی S صفره.

اما می دانیم اگر z عددی باشد با نرم خیلی بزرگ آنگاه

$\frac{P(z)}{|P(z)|}\simeq \frac{z^{n}}{|z^{n}|}$

پس اگر z نقطه ای روی مرزSباشد آنگاه این دو عدد مختلط که هر دو روی دایره واحد اند خیلی به هم نزدیکند. اما به راحتی می توان دید عدد چرخش سمت راست رابطه یعنی

$\frac{z^{n}}{|z^{n}|}$

برابر n است. که با فرض صفر بودن عدد چرخش سمت چپ که همان f است در تناقض است و اثبات تمام است.

پ.ن: عدد چرخش یا درجه ی یه تابع از مرز یه دایره به مرز یه دایره ی دیگه به طور نادقیق و شهودی یعنی وقتی x روی دامنه یک دور می چرخه اونوقت f(x) روی برد چند دور میچرخه.

seyed iman · 1391/3/18

پاسخ : قضیه ی اساسی جبر

ash1374 گفت

یه اثبات فوق العاده. گر چه به درد المپیاد نمی خوره ولی چون خیلی حد اقل برای خودم شگفت انگیزه گفتم بد نیست بگمش. اثبات رو از جایی بازنویسی می کنم.

$P(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}$

برهان خلف می زنیم. فرض کنید ریشه نداره. لذا تابع پیوسته ی

$f:\mathbb{C} \to S^{1}$

به صورت زیر در تمام نقاط قابل تعریفه.(S[SUP]1[/SUP] مرز دایره واحده)

$f(x)=\frac{P(x)}{|P(x)|}$

حالا فرض کنید S دیسکی به مرکز مبدا مختصات صفحه ی مختلط و شعاع به اندازه ی کافی بزرگ R باشد. طبق قضیه ای(غیر مقدماتی) می دانیم درجه ی(عدد چرخش) f روی S صفره.

اما می دانیم اگر z عددی باشد با نرم خیلی بزرگ آنگاه

$\frac{P(z)}{|P(z)|}\simeq \frac{z^{n}}{|z^{n}|}$

پس اگر z نقطه ای روی مرزSباشد آنگاه این دو عدد مختلط که هر دو روی دایره واحد اند خیلی به هم نزدیکند. اما به راحتی می توان دید عدد چرخش سمت راست رابطه یعنی

$\frac{z^{n}}{|z^{n}|}$

برابر n است. که با فرض صفر بودن عدد چرخش سمت چپ که همان f است در تناقض است و اثبات تمام است.

پ.ن: عدد چرخش یا درجه ی یه تابع از مرز یه دایره به مرز یه دایره ی دیگه به طور نادقیق و شهودی یعنی وقتی x روی دامنه یک دور می چرخه اونوقت f(x) روی برد چند دور میچرخه.

شما اسم اینو میزارید اثبات؟؟!
"با توجه به یک قضیه (غیر مقدماتی)" یعنی چی؟
هر چیزی استفاده میکنید باید اثیات کنید..یا حداقلش اسمشو بگین!!
قضیه ی غیر مقدماتی یعنی چی؟!
از اول میگیمم خب این قضیه یک قضیه ی غیر مقدماتیه و حکم حابت است!!:116::116:

Aref · 1391/3/18

پاسخ : قضیه ی اساسی جبر

اینو که خودمم میدونم. :71:
این سوال رو برای بقیه گذاشته بودم.:4:

ash1374 · 1391/3/18

پاسخ : قضیه ی اساسی جبر

kaleiodoscope گفت

بله حق با شماست. یکم در مورد قضیه می نویسم.
شاید درست نبود بنویسم غیر مقدماتی. حالا که می بینم اثبات اونقدر هم غیر مقدماتی نیست. اما خیلی خر کاری داره. برا همین هم اثباتش رو نمی نویسم ولی چون خیلی اصرار دارین انشاالله اگه زنده بودم یه روز دیگه سر فرصت اثباتشو می ذارم.
قضیه

متاسفانه اسمشو نمی دونم)

تابع

$f:D \to S^{1}$

پیوسته است که D دیسکه. در این صورت تابع f رو اگه فقط روی S[SUP]1[/SUP] در نظر بگیریم این تابع عدد چرخشش صفره.

ash1374 · 1391/3/18

پاسخ : قضیه ی اساسی جبر

Aref گفت

بله. می دونم شما می دونی. من هم اثبات رو برا بقیه گذاشتم.

mahyR · 1391/6/20

پاسخ : قضیه ی اساسی جبر

اگه میشه در مورد عدد چرخش یه توضیح بدید.

mreza1370 · 1391/6/20

پاسخ : قضیه ی اساسی جبر

ابتدا حکم را برای

$P(x)\in \mathbb{R}[x]$

ثابت می کنیم
فرض کنید

$n$

درجه

$P(x)$

باشد.
فرض کنید

$2^{\alpha}||n$

. با استقرا روی

$\alpha$

ثابت کنید که چند جمله ای حداقل یک ریشه مختلط دارد.
در این قسمت باید یه چندجمله ای با درجه ی

$n(n+1)/2$

از روی چندجمله ای اولیه بسازید و از فرض استقرا استفاده کنید.
سپس این حکم را به

$P(x)\in \mathbb{C}[x]$

ریط دهید.

قضیه ی اساسی جبر

Aref

New Member

ash1374

New Member

seyed iman

Well-Known Member

Aref

New Member

ash1374

New Member

ash1374

New Member

mahyR

New Member

mreza1370

New Member