ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

m-saghaei · 1393/10/22

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

اگه فرض کنیم

$n+1=ab$

و با توجه به اینکه و

$a|n!$

پس نتیجه میشه

$a|1$

که تناقضه.

پس

$n+1=p$

یعنی

$n=p-1$

که اگه تو صورت مسئله بزاریم درمیاد

$p^k-1=(p-1)!$

که اینم به ازای p>5 جواب نداره و اگه

$p=2,3,5$

رو چک کنیم

همون جوابای قبلی به دست میان!

دیگه اینو مطمئنم!:4:

AHZolfaghari · 1393/10/24

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

تمام اعداد طبیعی f,g را بیابید که

$f \vert g^2 , g \vert f^2 , f+1 \vert g^2 + 1$

:226::226::226::226::226::226:

:226::226::226::226::226:

:226:

ِDIOPHANTUS · 1393/10/25

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

سوال خیلیلی خوبیه تو قسمت اخر یه راهنمایی میکنین؟

Dadgarnia · 1393/10/25

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

ِDIOPHANTUS گفت

هنوز يه روز هم از گذاشتن سوال نگذشته اينجا قسمت ممتازه و معلومه كه سوالش توي يه روز حل نميشه پس لطفا بذارين يه هفته حداقل بگذرن بعدش راهنمايي بگيرين!

ِDIOPHANTUS · 1393/10/25

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

باشه چشم رو چشم!!!!:d

sepidfekr · 1393/10/25

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

ِDIOPHANTUS گفت

برای 100000000000000 بار آقا اسپم گذاشتن ممنوعه!!!

AHZolfaghari · 1393/11/3

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

رفقا ، راجع به این سوالی که گذاشتم نظری ندارید ؟

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

رفقا ، راجع به این سوالی که گذاشتم نظری ندارید ؟

aras2213 · 1393/11/3

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

AHZolfaghari گفت

مجامیع جواب ها:

$(f,g)=(x^2,x^3),(x(x^2-1)^2,x^2(x^2-1)),(x,x^2)$

حلش خیلی طولانی بود،یادمه که باید همه چی رو به پیمانه همه چی میگرفتیم و هی نامساوی میزدیم.

AHZolfaghari · 1393/11/3

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

جواب های اقا ارس درست هستش .
راهی که من سراغ دارم اینه که اولش باید ب م م f,g رو بگیریم و ادامه بدیم

Dadgarnia · 1393/11/10

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

یه سوال راحت برای راه افتادن ماراتن:
همه ی اعداد صحیح و مثبت

$(a,b,c)$

رابیابید که

$|2^a-b^c|=1$

.

REZA 73 · 1393/11/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

در حقیقت باید دو معادله زیر رو جواباش رو پیدا کنیم:

$2^a=b^c-1$

$2^a=b^c+1$

برای حالت اول :

$2^a=b^c-1\Rightarrow b-1 =2^n , b^{c-1}+...+b+1=2^m\rightarrow m>n\Rightarrow b-1|c$

پس

$c=2^n \times s$

. حال اگر

$n\geq 2$

باشد

$b^c-1$

به پیمانه 5 برابر 4 یا 0 هست. در صورتی که a باید فرد باشد(چون دو مربع کامل با اختلاف 1 وجود ندارند.) پس

$2^a$

به پیمانه 5 برابر 2 یا 3 است.
پس در این حالت معادله جواب غیر بدیهی ندارد. واضح است که بیشمار جواب بدیهی داره.
در حالت دوم هم به طریق مشابه ثابت میشه که

$c$

زوجه بعد با بررسی به پیمانه 4 به دست می آید که باز هم جواب غیر بدیهی نداره.

$2^a=b^c+1\Rightarrow b+1|c$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
کوچکترین مقدار

$n$

را بیابید که اعداد طبیعی و متمایز

$s_{1},s_{2},...s_{n}$

موجود باشند به طوری که :

$(1-\frac{1}{s_{1}})(1-\frac{1}{s_{2}})...(1-\frac{1}{s_{n}})=\frac{51}{2010}$

فکر کنم منبع سوال معلوم باشه تو صورت سوال!!

Dadgarnia · 1393/11/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

REZA 73 گفت

ميشه جواب هاي بديهي اين سوالو بگين؟ حالت كلي اين سوال هم بيشمار جواب نداره!
بله منبعش معلومه! :4: Information • Art of Problem Solving

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
فرض كنيد

$p$

عددي اول و

$n$

عددي صحيح و مثبت باشد. تعداد چهارتايي هاي

$(a_1,a_2,a_3,a_4)$

را بيابيد به طوريكه داشته باشيم

$a_i\in \left \{0,1,\cdots ,p^n- 1 \right \}$

و

$p^n|a_1a_2+a_3a_4+1$

.

REZA 73 · 1393/11/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

$a=x$

$b=2^x-1$

$c=1$

یا

$a=x$

$b=2^x+1$

$c=1$

الان از حالت کلی منظورتون دقیقا چی هستش؟؟

Dadgarnia · 1393/11/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

REZA 73 گفت

بله حق با شماست توي حالت كلي كه من منظورم بود همه ي متغير ها بزرگتر از يك هستند: Catalan's conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia

aras2213 · 1393/12/8

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

لم:
معادله

$ax\equiv c\textrm{ mod b}$

در اعداد صحیح جواب دارد اگر و فقط اگر

$(a,b)\mid c$

.همچنین تعداد جواب های آن برابر در مجموعه

$\left \{ 0,1,...,b-1 \right \}$

برابر

$(a,b)$

هه.

حالا میایم رو a_3 حالت بندی میکنیم:

حالت 0 ام-

$(a_3,p^n)=1$

در این صورت

$a_3a_4\equiv -a_1a_2-1\textrm{ mod }p^n$

زمانی برای a_4 جواب دارد که

$(a_3,p^n)\mid -a_1a_2-1$

.پس a_1,a_2 رو به طور دلخواه باید انتخاب کنیم.پس تو این حالت میشه

$(p^n-p^{n-1})p^{2n}$

و a_4 هم به طور یکتا تعیین میشه.
.
.
.
.
حالت i ام-

$(a_3,p^n)=p^i$

مثل قبل نتیجه میشه که

$p^i=(a_3,p^n)\mid -a_1a_2-1\rightarrow a_1a_2\equiv -1\textrm{ mod }p^i$

.پس باید

$(a_1,p)=1$

و با انتخاب a_1 برای انتخاب a_2

$p^{n-i}$

حالت به وجود میاد.همچنین برای انتخاب a_4 ،

$p^i$

حالت داریم.پس در این حالت میشه

$p^{2n-i}(p^n-p^{n-1})$

.

پس در کل میشه

$\sum_{i=0}^{n}(p^{2n-i}(p^n-p^{n-1}))$

که این هم میشه

$\sum_{i=0}^{n}(p^{2n-i}(p^n-p^{n-1}))=(p^n-p^{n-1})(\frac{p^n(p^{n+1}-1)}{p-1})=p^{2n-1}(p^{n+1}-1)$

.

:7:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:فرض کنید

$P$

یه چندجمله ای با ضرایب صحیح باشه.ثابت کنید تابع

$T$

از اعداد صحیح به همین مجموعه وجود ندارد که تعداد x هایی که در

$T^n(x)=x$

صدق میکنند،برابر با

$P(n)$

باشد،برای هر n طبیعی.(

$T^n$

این جا یعنی n بار ترکیب تابع

$T$

)

Dadgarnia · 1393/12/9

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

aras2213 گفت

اين سوال مشكل نداره؟ الان مثلا اگه قرار بديم

$P(x)\equiv 0$

به وضوح تابع

$T(x)=x+1$

شرايط سوالو داره!

aras2213 · 1393/12/9

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

P غیر ثابته.:3:

حمید آنالیز · 1393/12/19

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

aras2213 گفت

بله دیگه بیش از یه هفته گزشته لطفا جوایشو بزارین انگاری هیشکی حل نکرده!

Dadgarnia · 1393/12/19

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

حمید آنالیز گفت

نه سوال خوبیه یه هفته دیگه لطفا صبر کنین اگه حل نشد یه راهنمایی براش بذارین.

Dadgarnia · 1394/3/18

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

كمك كنيد دوباره ماراتن رو راه بندازيم.
لينك سوال قبل: Community - Art of Problem Solving
سوال بعد:
همه ي اعداد طبيعي

$m,n\geq 2$

را بيابيد به طوريكه دو شرط زير (همزمان) برقرار باشند:
الف)

$m+1$

يه عدد اوله كه

$m\equiv 2\pmod 4$

.
ب) عدد اول

$p$

و عدد نامنفي

$a$

وجود دارند كه

$\frac{m^{2^{n}-1}-1}{m-1}=m^n+p^a$

.

ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

New Member

Well-Known Member

Member

New Member

Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member