مجموع ارقام برابر 20092009

[M_Sharifi]

یه سوال:
نشان دهید اعداد طبیعی و دو به دو متمایز a,b,c,d وجود دارند که مجموع ارقام a[SUP]2[/SUP]+b[SUP]2[/SUP]+c[SUP]2[/SUP]+d[SUP]2[/SUP] برابر 20092009 است.

 

[seifi_seifi]

a=99...91 (تعداد9 ها برابر 2232443) , b=10 , c=800 , d=1000

راه حل : با استقرا میتوان ثابت کرد 081...98200...99=2^991...9( در سمت چپ تساوی تعداد 9 ها برابر n و در سمت راست تعداد 0 و 9 ها هر کدام برابر n-1 است)

که جمع ارقام a^2+b^2+c^2+d^2 برابر20092009 است.

درسته؟ اگه درسته لطفا راه حل خودتان را نیز بگذارید... .

 

[M_Sharifi]

با استفاده از این نکته هم میشه یه راه حل دیگه ارائه کرد: برای هر n عددی به اندازه ی کافی بزرگ مانند a با مجموع ارقام n وجود دارد که مجموع ارقام a[SUP]2[/SUP] برابر n[SUP]2[/SUP] است. حالا کافیه 20092009 رو به صورت مجموع چهار مربع کامل نمایش بدیم و ...