پاسخ : مجموع دو رادیکال
راه حل سوم ( + تعمیم) :
برای n=2 :
^{2}= \sqrt{4m^{2}+4m} + \sqrt{4m^{2}+4m+1})
کافیه برای n های فرد حکم رو اثبات کنیم : اول برای n=3 داریم :
^{3}= \sqrt{16m^{3}+24m^{2}+9m} + \sqrt{16m^{3}+24m^{2}+9m+1})
لم : اگر
^{2n+1}=A\sqrt{m}+B\sqrt{m+1},B^{2}(m+1) - A^{2}m=1)
آنگاه
^{2n+1}(2n+1 + 2\sqrt{m(m+1)})=(\sqrt{m}+\sqrt{m+1})^{2n+3}=C\sqrt{m}+D\sqrt{m+1})
که در ؛آن
 - C^{2}m =1)
.
خب اثباتش فقط محاسباتیه+استفاده از فرض لم.
خب با این لم به صورت استقرایی حکم کلی برای n های فرد اثبات شد،پس مساله به طور کلی اثبات شد.
تعمیم :اگر m,n اعدادی طبیعی باشند آنگاه عدد k ی طبیعی وجود دارد به طوری که :
^{n} =\sqrt{k}+\sqrt{k+i^{2}})
اثبات: چیزی بیشتراز اثبات به ازای i=1 نداره.
راه حل سوم ( + تعمیم) :
برای n=2 :
کافیه برای n های فرد حکم رو اثبات کنیم : اول برای n=3 داریم :
لم : اگر
آنگاه
که در ؛آن
خب اثباتش فقط محاسباتیه+استفاده از فرض لم.
خب با این لم به صورت استقرایی حکم کلی برای n های فرد اثبات شد،پس مساله به طور کلی اثبات شد.
تعمیم :اگر m,n اعدادی طبیعی باشند آنگاه عدد k ی طبیعی وجود دارد به طوری که :
اثبات: چیزی بیشتراز اثبات به ازای i=1 نداره.