مربع کامل

rezashiri · 1389/6/25

اگر

$n$

عددی طبیعی و بزرگتر از یک باشد و

$p$

عددی اول باشد و داشته باشیم :

[center:75b19f7e3b]

$p\mid n^{3}-1$

و

$n\mid p-1$

ثابت کنید

$4p-3$

مربع کامل است.

[/center:75b19f7e3b]

mahdisaj · 1389/6/25

$p\mid n^{3}-1\rightarrow p\mid \left ( n-1 \right )\left ( n^{2}+n+1 \right )$

(1)

$n\mid p-1\rightarrow n-1< p$

(2)
از یک و 2 داریم:

$p\mid n^{2}+n+1\rightarrow p=n^{2}+n+1\rightarrow 4p-3=4n^{2}+4n+1\rightarrow 4p-3=\left ( 2n+1 \right )^{2}$

پس 4p-3 مربع کامله

M_Sharifi · 1389/6/26

mahdisaj گفت

قسمت

$p\mid n^2+n+1\Rightarrow p=n^2+n+1$

رو همین جوری نمیشه قبول کرد. باید بیش تر توضیح بدی.

SherlockHolmes · 1389/6/26

فرض میکنیم

$n^{2}+n+1=pt$

.باید ثابت کرد

$t=1$

.ازفرض

$n\mid p-1$

نتیجه میگیریم

$p=ns+1$

.پس:

$n^{2}+n+1=pt=(ns+1)t=nst+t$

.پس

$t-1=n(n+1-st)$

.درنتیجه

$n\mid t-1$

.حالا فرض میکنیم

$t-1=nr$

.حالا اگر

$r=0$

نتیجه میشه

$t=1$

.اگر

$r\neq 0$

باید

$r\geq 1$

و

$t\geq n+1$

.از طرف دیگه

$p\geq n+1$

.پس

$n^{2}+n+1=pt\geq (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1$

که تناقضه پس

$r=0,t=1$

.البته فکر کنم راه ساده تری هم باشه!!!

مربع کامل

rezashiri

Well-Known Member

mahdisaj

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

SherlockHolmes

New Member