مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

[Yousefi]

Iranian Young Scholars Club Mathematics Competition 2012
IRYSCMC 2012
مسابقات ریاضی دانش پژوهان جوان ایرانی


​

سلام، توی این تاپیک می خوام یه مسابقه ریاضی باحال برگزار کنم که قواعدش اینطوریه :

1- تو هر زمان فقط باید یک سوال پرسیده بشه و اگه یک سوال بی جواب مونده نباید سوال دیگری بپرسید.
2- هر کسی که یه سوالی میپرسه باید خودش جوابشو بلد باشه.
3- هر کسی که به یه سوالی پاسخ می ده باید منتظر شه که کسی که سوال رو پرسیده بگه جوابش درسته یا غلط.
4- اگه یه شخص به یک سوال پاسخ درست بده یک امتیاز بهش اضافه میشه.
5- اگه یه شخص به یک سوال پاسخ غلط بده یک امتیاز ازش کم میشه.
6- هر کسی که زودتر به امتیاز 100 برسه برنده است.
7- اگه کسی امتیازش از 20- کمتر بشه از مسابقات حذف میشه.
8- اگه یه سوالی تا یک هفته بدون پاسخ بمونه، کسی که سوال رو پرسیده جوابش رو هم میگه و بعد 1 امتیاز از همه کم میشه.

اولین سوال رو من میپرسم، میدونم که خیلی قدیمیه

تذکر » باید با راه حل باشه.

مساحت قسمت رنگی رو حساب کنید.

 

[alich100]

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

سوال نا مفهومه!
خب بگید اون مربعه یا مستطیل و اون کمان هر کمانی میتونه باشه! یعنی منظورتون اینه که مرکزشون روی رئوسه اصلا بیضین یا نه!!!!!؟؟؟؟؟؟؟؟

 

[SMASZOP]

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

منظورشون از کمان ها ربع دایره هست!اون شکل هم مربعه!

 

[alich100]

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

خب اگه اینجوریه:
ابتدا همون قسمت هاشور خورده 4 تکه می کنیم (شبیه اقطار لوزی را می کشیم) یکی از اقسام را می خواهیم اندازه بگیریم:
مثلا قسمتی که به شکل L است را حساب می کنیم راس پایین چپ را در نظر بگیرید . فاصله آن از مرکز دایره برابر است با:

نامگذاری می کنم:
از بالا سمت چپ مربع: به صورت ساعتگرد : a , b , c, d
و آن شبیه لوزی داخل را به ترتیب از بالا به صورت ساعتگرد : e , f , g ,h
حال ابتدا مساحت محدود بین خط fc و دایره با مرکز d را حساب میکنم:
این مساحت برابر است با مساحت قطاع fcd منهای مثلث fcd ابتدا می خواهیم زاویه fdc را بیابیم:
dc بر دایره مرکز a مماس است و برابر کمان

و برابر کمان

است پس کمان fd دوبرابر کمان fc است یعنی کمان ec هم دو برابر کمان fc است و کمان ae برابر کمان fc است پس

پس اون قسمتی که گفته بودم میشه:
مساحت قطاع:

مساحت : مثلث قائم الزاویه ی fdc :
میشه fc ضربدر fd تقسیم بر دو که میشه 25رادیکال 3
پس مساحت کوچولوی ! fc میشه:

بالایی منهای پایینیه!

به همین ترتیب مساحت کوچولوی ae بدست میاد همون
پس مساحت ذوزنقه fcd و راس دیگر وسط ad میشود 50 منهای25 رادیکال 3 شیشم!
مساحت ذوزنقه ead و وسط dc هم همان می شود
حال چون مساحت قطاع acd را داریم : 1/4 ضربدر 10 به توان 2
پس مساحت اصلیه میشه:
مساحت قطاع گنده منهای دوتا کوچولوها منهای دو تا ذوزنقه ها یه اضافه مربه پایین چپیه: که همه اینها را داریم و جواب آخر میشه:

راستی وقتی عکس ها رو می ذاشتم قاطی می کرد عکس نمی آورد به خاطر همون زبونی نوشتم اعداد رو !!!
(احتمال اشتب محاسبه ای برابر 0.999 به دلیل خواب آلودگی بسیار ولی راه درست!!!!!!!!!!!!)

 

[manehsan]

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

البته این روش درسته ولی در واقع ما حد مساحت را بدست می آوریم.مساحت واقعی که نیست!

 

[math]

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

البته این روش درسته ولی در واقع ما حد مساحت را بدست می آوریم.مساحت واقعی که نیست!

چرا ؟؟ حد مساحت چیه؟؟:39:

 

[Yousefi]

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

راه خیلی ساده ای داره ! چیزی که بدست آوردین تقریبا درست است ولی خب سعی کنید یک راه بهتر پیدا کنید.
ولی به خاطر زحمتی که کشیدین یه امتیاز مثبت میگیرید alich100

 

[babakmath]

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

خب اگه اینجوریه:ابتدا همون قسمت هاشور خورده 4 تکه می کنیم (شبیه اقطار لوزی را می کشیم) یکی از اقسام را می خواهیم اندازه بگیریم:مثلا قسمتی که به شکل L است را حساب می کنیم راس پایین چپ را در نظر بگیرید . فاصله آن از مرکز دایره برابر است با:

نامگذاری می کنم:از بالا سمت چپ مربع: به صورت ساعتگرد : a , b , c, dو آن شبیه لوزی داخل را به ترتیب از بالا به صورت ساعتگرد : e , f , g ,hحال ابتدا مساحت محدود بین خط fc و دایره با مرکز d را حساب میکنم:این مساحت برابر است با مساحت قطاع fcd منهای مثلث fcd ابتدا می خواهیم زاویه fdc را بیابیم: dc بر دایره مرکز a مماس است و برابر کمان

و برابر کمان

است پس کمان fd دوبرابر کمان fc است یعنی کمان ec هم دو برابر کمان fc است و کمان ae برابر کمان fc است پس

پس اون قسمتی که گفته بودم میشه:مساحت قطاع:

مساحت : مثلث قائم الزاویه ی fdc :میشه fc ضربدر fd تقسیم بر دو که میشه 25رادیکال 3پس مساحت کوچولوی ! fc میشه: بالایی منهای پایینیه!به همین ترتیب مساحت کوچولوی ae بدست میاد همونپس مساحت ذوزنقه fcd و راس دیگر وسط ad میشود 50 منهای25 رادیکال 3 شیشم!مساحت ذوزنقه ead و وسط dc هم همان می شودحال چون مساحت قطاع acd را داریم : 1/4 ضربدر 10 به توان 2پس مساحت اصلیه میشه:مساحت قطاع گنده منهای دوتا کوچولوها منهای دو تا ذوزنقه ها یه اضافه مربه پایین چپیه: که همه اینها را داریم و جواب آخر میشه:

راستی وقتی عکس ها رو می ذاشتم قاطی می کرد عکس نمی آورد به خاطر همون زبونی نوشتم اعداد رو !!!(احتمال اشتب محاسبه ای برابر 0.999 به دلیل خواب آلودگی بسیار ولی راه درست!!!!!!!!!!!!)

مساحتش منفی شد!

 

[graph2]

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

جواب : 50pi - 100

برهان :

الان حال ندارم همه رو تایپ کنم اما یه سه معادله سه مجهول میشه که مجهولاش اینان : مساحت قسمت هاشورخورده ، مساحت خیلی کوچیکه و اونیکی

 

[Yousefi]

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

خب بگذارید من یه راهنمایی کنم ! این طوری دیگه خیلی راحت حل میشه !

یک مثلث متساوی الاضلاع رو توی مربع بکشید عین شکل زیر :

خداییش که با این راهنمایی خیلی سریع حل میشه !

 

[Yousefi]

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

پس چی شد ؟؟؟:159:

جواب : 50pi - 100

برهان :

الان حال ندارم همه رو تایپ کنم اما یه سه معادله سه مجهول میشه که مجهولاش اینان : مساحت قسمت هاشورخورده ، مساحت خیلی کوچیکه و اونیکی

جوابتون اشتباهه !

 

[manehsan]

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

چرا ؟؟ حد مساحت چیه؟؟:39:

چون شما دارید از یه قسمت های کوچکی صرف نظر می کنید.

 

[alich100]

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

بله یه اشتب کوچیک کردم!!
یه راه راحت تر: (البته با متساوی الاضلاع نفهمیدم!)
از بالای مربع چپش به طور ساعتگرد نامگذاری می کنم a , b , c , d
و همچنین اون شبیه لوزی رو هم از راس بالاش به صورت ساعتگرد e , f , g , h
طبق اونی که توی پست قبل اثبات کردم

پس در واقع مساحت محصور بین ef و دایره با مرکز d (که از این به بعد بهش کوچولوی ef می گیم) برابر است با:

که مساحت قطاعedf یعنی

برابر است با:

و مساحت مثلث edf برابر است با :

پس مساحت کوچولو برابر است با:

حال طول بین وسط dc و g را حساب می کنیم چون

پس فاصله آن دو برابر 2.5 میشود حال داریم:

حال مساحت اون شبه لوزی میشه:

پس:

امیدوارم این دیگه درست باشه!

 

[Yousefi]

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

خب ، بازم نشد !

این راهه منه !

اول می خواهیم مساحت این قسمت رو پیدا کنیم :

خب برای اینکار :

همون طور که می بینید اگه از مساحت ربع دایره مساحت مثلث قرمز رنگ رو کم کنیم مساحت قسمت آبی بدست می آد که برای بدست آوردن کل شکل باید اونو ضربدر 2 کنیم.
که میشه :

خب حالا با استفاده از یه مثلث متساوی الاضلاع مساحت قسمت نارنجی رنگ رو حساب می کنیم:

می دونیم که مساحت مثلث برابره با رادیکال 3 تقسیم بر 4 ضربدر 100
و هر زاویه اون 60 درجه است.

پس زوایای EBC و EAD برابر 30 درجه هستند که در نتیجه هر کدوم از این قسمت های سبز :

یک دوازدهم دایره هستند که مساحت هر کدوم از اونها میشه :

پس مساحت اون قسمت نارنجی برابر است با مساحت کل مربع منهای مساحت دو تا یک دوازدهم دایره منهای مساحت مثلث متساوی الاضلاع :

حالا ما مساحت یکی از اون نارنجی ها رو داریم برای بدست اوردن این قسمت بنفش :

باید 4 تا از اون نارنجی ها رو از 100 کم کنیم که ساده شدش میشه :

خب حالا اگه اون شکلی که اولین بار مساحتش رو پیدا کردیم یعنی :

رو از شکل بنفش کم کنیم حاصل میشه :

که مساحتش میشه :

خب دو تا از این شکل و 4 تا از شکل نارنجی رو با هم جمع کنیم و سپس از 100 کم کنیم میشه مساحت شکل مورد نظر ما :

پس مساحت قسمت سیاه میشه :

به همین سادگی که تقریبا میشه : 31.51 سانتی متر مربع

حالا می تونید یه سوال دیگه بگذارید!​

 

[alich100]

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

راستی این چه نرم افزاریه؟

 

[Yousefi]

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

راستی این چه نرم افزاریه؟

GeoGebra 3.2

 

[Yousefi]

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

چی شد پس ؟؟

کسی سوال جدید رو مطرح نمی کنه ؟؟؟

 

[hamidreza hashempour]

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

هی من اینو یلدم!!!!!!!!!!!!!!!

تقریبا میشه 30.17 راهش ((100تاpبه روی 12 - 25تارادیکال3))4 - 100


درسته مهندس؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

 

[حالا هرکی]

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

سوال بعدیو من میزارم و با ترکیبیات بیتر حال میکنم پس یه ترکیبیات میزارم

f یک خانواده از زیرمجموعه های مجموعه ی د عضوی x هست که هر کدام از اعضای اون (f) تعداد زوجی عضو دارن و هر دوتا از اعضای f تعداد زوجی عضو مشترک با یکدیگر دارند حداکثر تعداد اعضای f را بیابید .(مجموعه ی x و f نا تهی میباشند)

 

[hamidreza hashempour]

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

منظورم 31.46 بود!