مساحت نامحدود درون حجم محدود

Behrooz · 1389/6/10

تابع

$\120dpi y=\frac 1 x$

با دامنه

$\120dpi x\geq 1$

را در نظر بگیرید
سطح زیر نمودار از1 تا بینهایت به بینهایت میل می کند

$\120dpi S=\int_{1}^{\infty }\frac{1}{x}dx=\ln\infty -\ln1=\infty$

حالا نمودار تابع را حول محور xدوران میدهیم
حجم شکل ایجاد شده برابر است با:

$\120dpi V=\int_{1}^{\infty }\frac{\pi }{x^2}dx=\frac{-\pi }{\infty }+\frac{\pi }{1}=\pi$

نکته جالبتر اینجاست که بخواهیم این اشکال را رنگ امیزی کنیم
با توجه به این که سطح S نامحدود است نمی توان با هیچ مقدار رنگی ان را رنگ کرد
ولی با توجه به این که حجم V برابر

$\200dpi \pi$

است میتوان با ریختن

$\200dpi \pi$

متر مکعب (فرض میکنیم واحد های محور ها به متر هست)رنگ این حجم را پر کرد حالا اگر صفحه xy را با حجم V قطع دهیم مسلما تمام اشتراک صفحه xy با حجم V یعنی 2 برابر سطح زیر نمودار

$\120dpi y=1/x$

رنگی خواهد شد!!یعنی باید بتوان با کمتر

$\200dpi \pi$

مترمکعب رنگ سطح زیر نمودار

$\120dpi 1/x$

رنگ کرد.
این تناقض را چگونه توجیه میکنید؟!؟

M_Sharifi · 1389/6/10

بیان ساده تر این مسئله معمایی میشه که نسبتا معروفه:
پادشاهی برجی نامتناهی دارد که طبقه ی اول آن اتاقی

$1\times1\times1$

است. روی این اتاق، اتاقی با طول و عرض

$\frac12$

ولی همان ارتفاع

$1$

وجود دارد، یعنی

$\frac12\times\frac12\times1$

. طبقه ی بعد یک اتاق

$\frac13\times\frac13\times1$

است و ...
می خواهیم دیواره های جانبی این اتاق ها را رنگ آمیزی کنیم. اما مجموع مساحت 4 دیوار هر اتاق برابر است با

[center:e2e0bc2a25]

$4\left(1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots\right)$

[/center:e2e0bc2a25]
که مجموعی نامتناهی است. یعنی مساحتی که باید رنگ کنیم بی نهایت است. پس مقدار رنگ مورد نیاز هم بی نهایت می شود!
روشی ارائه کنید که با مقدار محدودی رنگ بتوان این رنگ آمیزی را انجام داد.

مساحت نامحدود درون حجم محدود

Behrooz

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی