معادله با فرض a+b+c=0

[Aref]

فرض کنید

. ثابت کنید
[center:9c9b9c0baa]

[/center:9c9b9c0baa]

 

[Aref]

لطفا سوالمو با راه حل کامل حل کنید.

 

[Aref]

کسی سوالمو حل نکرد؟ آقایون غول های ریاضی؟

 

[mohammad_72]

تعريف مي‌كنيم : p = a+b+c=0 و q=ab+bc+ca و r = abc پس ريشه‌هاي X[SUP]3[/SUP] - pX[SUP]2[/SUP] + qX - r = (X-a)(X-b)(X-c برابره با a, b, c يعني :
a[SUP]n[/SUP] - pa[SUP]n-1[/SUP] + qa[SUP]n-2[/SUP] - ra[SUP]n-3[/SUP] = 0 اگه براي b, c هم اينو بنويسيم و با هم جمع كنيم و تعريف كنيم :S[SUB]n[/SUB] = a[SUP]n[/SUP]+b[SUP]n[/SUP]+c[SUP]n[/SUP] نتيجه مي‌گيريم :
S[SUB]n[/SUB] = pS[SUB]n-1[/SUB] - qS[SUB]n-2[/SUB] + rS[SUB]n-3[/SUB] = -qS[SUB]n-2[/SUB] + rS[SUB]n-3[/SUB] پس داريم :
S[SUB]0[/SUB] = 3
S[SUB]1[/SUB] = 0
S[SUB]2[/SUB] = a[SUP]2[/SUP]+b[SUP]2[/SUP]+c[SUP]2[/SUP] = p[SUP]2[/SUP]-2q = -2q
S[SUB]3[/SUB] = -q(0) + r(3) = 3r
S[SUB]4[/SUB] = -q(-2q) + r(0) = 2q[SUP]2[/SUP]
S[SUB]5[/SUB] = -q(3r) + r(-2q) = -5qr
پس داريم : 2S[SUB]5[/SUB] = -10qr = 5(-2q)r = 5rS[SUB]2[/SUB] كه همون حكميه كه مي‌خواستيم !

 

[farid_frd]

یک راه دیگه :