معادله برای هر n>=s جواب دارد

M_Sharifi · 1389/1/10

یه سوال.
ثابت کنید برای هر عدد طبیعی

$m$

، عدد طبیعی

$s$

وجود دارد به طوری که برای هر

$n\geq s$

، معادله ی

[center:29dbaa4f35]

$\frac1{x_1^m}+\frac1{x_2^m}+\cdots+\frac1{x_n^m}=1$

[/center:29dbaa4f35]
در مجموعه ی اعداد طبیعی جوابی برای

$x_1,x_2,\ldots,x_n$

دارد.

shoki · 1389/2/7

از این نکته استفاده کنید که اگر حکم برای

صادق باشه اون وقت برای

هم صادقه که در آن

و البته بدیهیست که حکم برای

صادقه . حالا یک

پیدا کنید به طوری که

و نتیجه بگیرید که به ازای هر

،

ای وجود دارد که به پیمانه ی

با t همنهشت باشد ... از این جا به بعدش حله ...
راستی آقای شریفی من یه کران بالا برای

در آوردم ولی می خواستم بدونم بهترین کرانی که تا به حال پیدا شده چی بوده ( بر حسب m طبیعتا) ؟؟

M_Sharifi · 1389/2/8

در حالت

$m=2$

، معادله براي هر

$n\geq6$

جواب داره. در حالت

$m=3$

مسئله اي وجود داره كه ميگه ثابت كنيد معادله براي هر

$n\geq412$

جواب داره، كه مسئله ي نسبتا راحتيه. هر چند كه اين كران، شايد بهترين كران ممكن نباشه.
اما در حالت كلي فكر نمي كنم بهترين كران، قابل دستيابي باشه و فقط ميشه تقريب هايي براي اين كران، ارائه كرد.

معادله برای هر n>=s جواب دارد

M_Sharifi

راهبر ریاضی

shoki

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی