معادله تابعی.

Sharifi_M · 1394/6/29

تمام توابع

$f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$

را بیابید بطوری که:

$f(m+n)+f(m)f(n)=f(mn+1)$

برای هر

$m$

و

$n$

صحیح.

J.Karimi · 1394/6/30

پاسخ : معادله تابعی.

فك كنم دو تابع:

$f(x)=0$

و

$f(x)=x-1$

باشن درسته؟؟

Sharifi_M · 1394/6/30

پاسخ : معادله تابعی.

جواباشو تقریبا میدونم
راه حل میخوام

$f=0$

$f(x)=x-1$

$f(x)=x^2-1$

شاید چند تابع دیگم باشن حتی! :4:

J.Karimi · 1394/6/31

پاسخ : معادله تابعی.

$if:m=n=0\Rightarrow f(0)+f(0)^{2}=f(1)$

$if:n=0,m=1\Rightarrow f(1)++f(0)f(1)=f(1)\Rightarrow f(0)^{2}+f(0)^{3}=0$

پس يه حالت ميشه

$f(0)=0$

كه در اون صورت :

$if:n=0\Rightarrow f(m)=0$

براي جواب

$f(x)=x-1$

هم تازه متوجه شدم اثباتش يه جاش مي لنگه اگه درس شد مي نويسم!!!

Dadgarnia · 1394/6/31

پاسخ : معادله تابعی.

Sharifi_M گفت

فرض كنيد عبارت بالا

$P(m,n)$

باشه.

$f\equiv 0$

تنها تابع ثابته كه شرايط سوالو داره پس فرض مي كنيم

$f$

ثابت نيست. داريم:

$P(m,0)\rightarrow f(m)(f(0)+1)=f(1)\Rightarrow f(0)=-1,f(1)=0$

$P(2,-1)\rightarrow f(2)f(-1)=f(-1)$

پس مسئله رو دو حالت مي كنيم:
1-

$f(-1)\neq 0$

پس

$f(2)=1$

.

$P(m+1,n)-P(m,n+1)$

نتيجه ميده:

$f(m+1)f(n)-f(m)f(n+1)=f(mn+n+1)-f(mn+m+1)$

فرض كنيد رابطه ي بالا

$Q(m,n)$

باشه. داريم:

$Q(m,-1)+Q(-m,-1)\rightarrow f(1-m)=-f(m+1)$

$\Rightarrow P(m,-1)\rightarrow f(m+1)=-f(m)f(-1)-f(m-1)$

اگه توي رابطه ي بالا

$m=2,3,4$

رو جايگذاري كنيم بدست مياد:

$f(3)=-f(-1),f(4)=f(-1)^2-1,f(5)=-f(-1)^3+2f(-1)$

$\Rightarrow P(2,2)\rightarrow f(-1)^2=-f(-1)^3+2f(-1)\Rightarrow (f(-1)+2)(f(-1)-1)=0$

اگه

$f(-1)=-2$

بدست مياد

$f(m+1)=2f(m)-f(m-1)$

حالا به راحتي با استفاده از استقرا بدست مياد

$f(m)=m-1$

و اگه

$f(-1)=1$

بدست مياد

$f(m+1)=-f(m)-f(m-1)$

حالا به راحتي با استفاده از استقرا بدست مياد

$f(m)=\left\{\begin{matrix} -1 & m\equiv 0 \pmod 3 \\ 0 & m\equiv 1\pmod 3 \\ 1 & m\equiv -1\pmod 3 \end{matrix}\right.$

پس مسئله تو اين حالت تموم ميشه.
2-

$f(-1)=0$

داريم:

$P(m+1,-1)\rightarrow f(m)=f(-m)$

$\Rightarrow P(m,2),Q(m,-2)\rightarrow f(m+2)=f(m+1)f(2)-f(m)f(2)+f(m-1)$

اگه توي رابطه ي بالا

$m=1,2,3$

رو جايگذاري كنيم بدست مياد:

$f(3)=f(2)^2-1,f(4)=f(2)^3-f(2)^2-f(2)$

$f(5)=f(2)^4-f(2)^3-f(2)^2+f(2)$

حالا

$P(2,2)$

نتيجه ميده:

$f(2)(f(2)-1)(f(2)+1)(f(2)-3)=0$

هر مقداري كه براي

$f(2)$

بدست بياد با استقرا مسئله حله پس من فقط توابعي كه بدست مياد رو مي نويسم:

$f(2)=0\Rightarrow f(m)=\left\{\begin{matrix} -1 & m\equiv 0\pmod 3 \\ 0 & m\equiv \pm 1\pmod 3 \end{matrix}\right.$

$f(2)=1\Rightarrow f(m)=\left\{\begin{matrix} -1 & m\equiv 0\pmod 4 \\ 1 & m\equiv 2\pmod 4 \\ 0 & m\equiv \pm 1\pmod 4 \end{matrix}\right.$

$f(2)=-1\Rightarrow f(m)=\left\{\begin{matrix} -1 & m\equiv 0\pmod 2 \\ 0 & m\equiv 1\pmod 2 \end{matrix}\right.$

$f(2)=3\Rightarrow f(m)=m^2-1$

پس مسئله فقط همين 7 جواب رو داره. :4:

معادله تابعی.

Sharifi_M

New Member

J.Karimi

Active Member

Sharifi_M

New Member

J.Karimi

Active Member

Dadgarnia

New Member