معادله در اعداد حقیقی

mmahdit · 1393/9/3

الف) همه سه تایی های

$(x,y,z)$

را در اعداد حقیقی بیابید که در دستگاه معادلات زیر صدق کنند.

$x^2-x=yz+1$

$y^2-y=zx+1$

$z^2-z=xy+1$

همه مقادیر ممکن را برای

$xy+yz+zx+x+y+z$

وقتی

$(x,y,z)$

یک جواب از دستگاه معادلات بالاست بیابید.

Sharifi_M · 1394/3/20

پاسخ : معادله در اعداد حقیقی

mmahdit گفت

الف)

از این سه معادله میشه نتیجه گرفت:

$\prod_{ }^{ }(x^2-x)=\prod (yz+1)$

که اگر ضرب ها رو انجام بدیم و عبارت رو باز کنیم و ساده کنیم نتیجه میده:

$-xy^2z^2-x^2y^2z-x^2yz^2-xyz=xy+xz+yz+1$

$\Rightarrow$

$-xyz(xy+xz+yz+1)=xy+xz+yz+1$

در صورتی که xy+xz+yz+1 برابر با صفر نباشه میشه دو عبارت رو بر اون تقسیم کرد(حالت خاص رو بررسی خواهیم کرد):

$-xyz=1$

خب اگر در عبارت اول بجای

$x$

,

$-\frac{1}{yz}$

قرار بدیم نتیجه میده:

$\frac{1}{y^2z^2}+\frac{1}{yz}=yz+1$

که این نتیجه میده

$|yz|=1$

.

به طور مشابه میشه نتیجه گرفت

$|yz|=|xy|=|xz|=1$

اینجا 8 حالت گوناگون میتونه رخ بده.

حالت این که هر سه تا 1 باشن جواب زیر رو میده:

$(-1,-1,-1)$

حالات اینکه یکی از حاصلضرب ها -1 بشه غیر قابل قبوله.

حالات اینکه دو تا از حاصل ضرب ها -1 بشن جواب های زیر رو میده:

$(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1),(1,1,-1),(1,-1,1),(-1,1,1)$

حالت اینکه هر سه تا -1 بشن هم غیر قابل قبوله.

حال مجموعه جواب های بدست اومده رو تو دستگاه میزاریم مشاهده میشه که اون مجموعه جواب ها که دو تا منفی یک داشتن غیر قابل قبولند ولی بقیه در دستگاه کار میکنند!

فرض xy+xz+yz+1=0 هم باید بررسی شه!

معادله در اعداد حقیقی

mmahdit

New Member

Sharifi_M

New Member