معادله سیاله

assassin1 · 1394/8/6

تمامی اعداد طییعی ام و ان را بیابید که:

$5^{m}-4^{n}=9$

Dadgarnia · 1394/8/6

پاسخ : معادله سیاله

مي تونيم فرض كنيم

$n>1$

در اينصورت اگه دو طرف تساوي رو به پيمانه 8 در نظر بگيريم بدست مياد كه

$m$

زوجه. قرار ميديم

$m=2k$

. داريم:

$4^n=(5^k-3)(5^k+3)$

پس

$5^k-3,5^k+3$

هر دو تواني از دواند. واضحه كه تنها توان هايي از دو كه اختلاف شش دارن 2,8 هستند كه نتيجه ميده

$m=n=2$

.

J.Karimi · 1394/8/6

پاسخ : معادله سیاله

يه راه ديگه هم مي تونه اينجور باشه كه طرفين رو به پيمانه سه بگيريم كه نتيجه ميشه توان پنج بايستي زوج باشه كه در واقع معادله ما تبديل به يه معادله سياله فيثاغورثي ميشه!!! كه اگه حل كنيم همون جواب هاي آقاي دادگرنيا به دست :

$m=2t\Rightarrow 9+(2^{n})^{2}=(5^{t})^{2}$

$\Rightarrow 2ab=2^{n}\Rightarrow a=2^{n-1},b=1$

$\Rightarrow 3=a^{2}-b^{2}\Rightarrow n=2\Rightarrow m=2$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

در ضمن توجه داشته باشيم كه در معادله سياله ي فيثاغورثي به شكل زير :

$x^{2}+y^{2}=z^{2}$

كه در اون ايكس فرد باشه جواب ها به شكل زير است:

$x=d(a^{2}-b^{2}).y=2abd,z=d(a^{2}+b^{2})$

كه d ب.م.م سه عدد مي باشد!!

معادله سیاله

assassin1

New Member

Dadgarnia

New Member

J.Karimi

Active Member