معادله

rezashiri · 1389/1/11

معادله زیر را در مجموعه ی اعداد گویا حل کنید:

[center:d687e780e2]

$\100dpi \sqrt{2\sqrt{3}-3}=\sqrt{x\sqrt{3}}-\sqrt{y\sqrt{3}}$

[/center:d687e780e2]
[center:d687e780e2](انگلستان-1970)[/center:d687e780e2]

ArseneLupin · 1389/5/5

دو طرف معادله را به توان 2 میرسانیم وبه عبارت

$2\sqrt{3}-3=x\sqrt{3}+y\sqrt{3}-2\sqrt{3xy}$

میرسیم که به صورت

$\sqrt{3}(2-x-y)=3-2\sqrt{3xy}$

است.حالا دوباره معادله را به توان دو میرسانیم:

$3(2-x-y)^{2}=9+12xy-12\sqrt{3xy}$

چون طرف اول این معادله گویاست پس طرف دوم هم باید گویا باشد یعنی

$\sqrt{3xy}$

گویاست.با توجه به این موضوع

$\sqrt{3}(2-x-y)$

هم باید گویا باشد که چون

$x$

و

$y$

گویا هستند پس

$2-x-y=0$

و

$x+y=2$

.نتیجه میگیریم

$3-2\sqrt{3xy}=0$

یا

$xy=\frac{3}{4}$

. کافیست با توجه به

$x+y=2$

و

$xy=\frac{3}{4}$

جواب هارا پیدا کنیم که

$x=\frac{3}{2}$

و

$y=\frac{1}{2}$

بالعکس.