نابرابری با شرط 16=(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)

M_Sharifi · 1388/11/23

یه سوال:
اعداد حقیقی

در رابطه ی
[center:fc50482f8a]

[/center:fc50482f8a]صدق میکنند. ثابت کنید:
[center:fc50482f8a]

[/center:fc50482f8a]

shoki · 1388/12/9

Lagrange kills it

M_Sharifi · 1388/12/10

راه حل.
[center:c90589b842]

$16=(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)$

$=(a+i)(b+i)(c+i)(d+i)(a-i)(b-i)(c-i)(d-i)$

$=\Big((abcd+1-\sum ab)+i\big(\sum abc-\sum a\big)\Big)$

$\times\Big((abcd+1-\sum ab)-i\big(\sum abc-\sum a\big)\Big)$

$=\big(abcd+1-\sum ab\big)^2+\big(\sum abc-\sum a\big)^2$

بنابراین

$|abcd+1-\sum ab|\leq4$

[/center:c90589b842]