نابرابری با شرط a+b+c=1

M_Sharifi · 1389/2/12

یه سوال:
فرض کنید

$a,b,c$

اعدادی مثبت اند و

$a+b+c=1$

. ثابت کنید

[center:96e0beacbb]

$\sqrt{\frac{ab}c+1}+\sqrt{\frac{bc}a+1}+\sqrt{\frac{ca}b+1}\geq2(\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c)$

[/center:96e0beacbb]

shoki · 1389/2/12

همگن سازی... تجزیه ...کوشی ... AM-GM ...

M_Sharifi · 1389/2/12

shoki گفت

مرسی. اگه یه تونستی حل سوالهات رو یه ذره مفصل تر بنویس تا دیگران هم بتونند استفاده کنند.

shoki · 1389/2/12

چشم فردا بعد از ظهر این کارو میکنم ...

shoki · 1389/2/13

خوب دیگه شرمنده یک کمی از بعد از ظهر گذشت

... خوب همگن سازی به دست می دهد ...

$\sum \sqrt{\frac{ab+c \sum a }{c}} \ge 2 \sum \sqrt{a}$

حالا داریم

$ab+c\sum a = (a+c)(b+c) \ge (\sqrt{ab}+c)^2$

پس کافیه اثبات شه :

$\sum \sqrt{\frac{ab}{c}} \ge \sum \sqrt{a}$

که همون AM-GM هست ...