نابرابری در اعداد طبیعی

ali_irysc · 1390/12/2

n طبیعیست

$\left ( \frac{n}{n+1} \right )^{n}> \sqrt[n+1]{\left ( n+1 \right )!}-\sqrt[n]{n!}$

mahanmath · 1390/12/2

پاسخ : نابرابری در اعداد طبیعی

طبق نابرابری حسابی‌-هندسی

$\sqrt[n]{n!} + \left (\frac{n}{n+1} \right )^n \\ \\ =\underbrace{\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} + \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} + \dots +\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}}_{n\: times} + \left (\frac{n}{n+1} \right )^n \\ \\ > (n+1)\sqrt[n+1]{\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} . \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} . \dots .\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} . \left (\frac{n}{n+1} \right )^n} \\ \\ = \sqrt[n+1]{\left (n+1 \right )!}$

نابرابری در اعداد طبیعی

ali_irysc

New Member

mahanmath

New Member