نابرابری دو متغیره

Aref · 1391/3/13

فرض کنید

$a,b>0$

و

$n$

عددی طبیعی باشد. ثابت کنید:

$\frac{a^n+b^n}{2}+(\frac{a+b}{2})^n\ge 2(\frac{a^n+a^{n-1}b+\dots+b^n}{n+1})$

hkh74 · 1391/3/13

پاسخ : نابرابری دو متغیره

$2^{n-1}(a^n+b^n)=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n}\left ( \frac{2^{n+1}}{n+1}-\binom{n}{k} \right )(a^n+b^n)\\ \geq \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n}\left ( \frac{2^{n+1}}{n+1}-\binom{n}{k} \right )(a^kb^{n-k}+a^{n-k}b^k)=\sum_{k=0}^{n}\left ( \frac{2^{n+1}}{n+1}-\binom{n}{k} \right )a^kb^{n-k}\\=\frac{2^{n+1}}{n+1}(a^n+a^{n-1}b+\dots+b^n)-(a+b)^n$

و بعد دو طرف رو بر

$2^n$

تقسیم می کنیم.

Aref · 1391/3/13

پاسخ : نابرابری دو متغیره

hkh74 گفت

مرسی.درسته. راه حل منم همین بود.

نابرابری دو متغیره

Aref

New Member

hkh74

New Member

Aref

New Member