نابرابری ساده

mrbayat · 1389/6/30

فرض کنید

$x,y,z\in \mathbb{R}$

.ثابت کنید:
[center:6becf1c543]

$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\geq max\left \{ \frac{3}{4} (x-y)^2,\frac{3}{4}(y-z)^2,\frac{3}{4}(z-x)^2 \right \}$

[/center:6becf1c543]

mrbayat · 1389/7/1

یعنی واقعا سخته که بعد از دو روز کسی حل نکرده؟؟

برای راهنمایی حل سوال ابتدا فرض کنید:

$x\geq y\geq z$

پس داریم:

$max\left \{ \frac{3}{4}(x-y)^{2},\frac{3}{4}(y-z)^{2},\frac{3}{4}(z-x)^{2} \right \}=\frac{3}{4}(z-x)^{2}$

M_Sharifi · 1389/7/1

اگر مثلا

$|x-y|=\max\{|x-y|,|y-x|,|z-x|\}$

طبق کوشی،

$(y-z)^2+(z-x)^2\geq\frac12(x-y)^2$

. بنابراین

[center:c893258f08]

$\sum x^2-\sum xy=\frac12\left(\sum(x-y)^2 \right )\geq\frac34(x-y)^2$

[/center:c893258f08]