پاسخ : نابرابری سخت
چند جمله ایی با درجه حداکثر
است .ثابت کنید
بعد از درونیابی و نابرابری مثلث، کافیه ثابت کنیم که
که ما برای
داریم
و رشد
از رشد تابع
بیشتر است. بنابراین مساله حل می شود.
ملاحظه:
صورت سوال باید ذکر می کرد که
|)
داخل ماکسیمم نیست.
------------------------------------------------------------
را در نقاط
درونیابی می کنیم. داریم:
=\sum_{i=0,i\neq%20n}^{2n}p(i)\prod_{j\neq%20i,n}\frac{x-j}{i-j})
پس نتیجه می شود:
=\sum_{i=0,i\neq%20n}^{2n}p(i)\prod_{j\neq%20i,n}\frac{n-j}{i-j})
می دانیم:
^2(-1)^n}{n-i}}{\frac{i!(2n-i)!(-1)^{2n-i}}{i-n}}=(-1)^{n+i+1}\frac{(n!)^2}{i!(2n-i)!})
پس:
=\sum_{i=0,i\neq%20n}^{2n}p(i)(-1)^{n+i+1}\frac{(n!)^2}{i!(2n-i)!})
پس اندازه های دو طرف هم برابرند.
یعنی:
|=\left|\sum_{i=0,i\neq%20n}^{2n}p(i)(-1)^{n+i+1}\frac{(n!)^2}{i!(2n-i)!}\right|)
اکنون با استفاده از نابرابری مثلث داریم:
(-1)^{n+i+1}\frac{(n!)^2}{i!(2n-i)!}\right|\le%20\sum_{i=0,i\neq%20n}^{2n}\left|p(i)(-1)^{n+i+1}\frac{(n!)^2}{i!(2n-i)!}\right|)
یعنی:
|\le%20\sum_{i=0,i\neq%20n}^{2n}\left|p(i)(-1)^{n+i+1}\frac{(n!)^2}{i!(2n-i)!}\right|)
(-1)^{n+i+1}\frac{(n!)^2}{i!(2n-i)!}\right|=\sum_{i=0,i\neq%20n}^{2n}\left|p(i)\frac{\binom{2n}{i}}{\binom{2n}{n}}\right|)
فرض کنید
|\})
داریم:
|\le%20d)
پس
|\le%20\sum_{i=0,i\neq%20n}^{2n}\left|p(i)\frac{\binom{2n}{i}}{\binom{2n}{n}}\right|\le%20\sum_{i=0,i\neq%20n}^{2n}d\frac{\binom{2n}{i}}{\binom{2n}{n}}=\frac{d}{\binom{2n}{n}}\sum_{i=0,i\neq%20n}^{2n}\binom{2n}{i})
از اتحاد
استفاده می کنیم که به دست آوریم:
پس ثابت شد که
|\le%20\frac{d}{\binom{2n}{n}}\left(2^{2n}-\binom{2n}{n}%20\right%20))
بعد از درونیابی و نابرابری مثلث، کافیه ثابت کنیم که
که ما برای
و رشد
ملاحظه:
صورت سوال باید ذکر می کرد که
------------------------------------------------------------
پس نتیجه می شود:
می دانیم:
پس:
پس اندازه های دو طرف هم برابرند.
یعنی:
اکنون با استفاده از نابرابری مثلث داریم:
یعنی:
فرض کنید
داریم:
پس
از اتحاد
پس ثابت شد که
آخرین ویرایش توسط مدیر