نابرابری سه متغیره

M_Sharifi · 1389/3/12

یه سوال:
اعداد مثبت

$a,b,c$

در رابطه ی

$a^2+c^2+c^2=1$

صدق می کنند. ثابت کنید

[center:9d7d5efc8f]

$\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}\geq3+\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}$

[/center:9d7d5efc8f]

Olympiad · 1389/3/12

پس از بسط دادن به اين نامساوي مي رسيم :

$\sum a^2b^2\geq 3a^2b^2c^2+abc(\sum a^3)$

LHS را در

$a^2+b^2+c^2$

ضرب مي كنيم و نامساوي را بازنويسي مي كنيم :

$\sum_{sym}a^4b^2+3a^2b^2c^2\geq 3a^2b^2c^2+\sum_{sym} a^4bc$

كه نامساوي بالا هم بنابر نامساوي مورهد درست مي باشد (

$(4,2,0)\geq (4,1,1)$

)
درسته آقاي شريفي؟!

mohammad2004 · 1389/3/12

کسر سمت راست یعنی

اگه ضریب 2 داشته باشه هم درسته.
سمت چپو توی

ضرب میکنیم باید ثابت کنیم :

که با میانگین بدیهیه.