نابرابری 2010 امریکا

math · 1391/2/6

سلام

میشه لطفا راه حل این سوال رو بگید من هرچه قدر فکر کردم به نتیجه نرسیدم

اگر

انگاه ثابت کنید

hkh74 · 1391/2/6

پاسخ : نابرابری 2010 امریکا

فرض رو بازنویسی می کنیم:

$a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\leq 4 \\ \Leftrightarrow 2-a^2-b^2\geq (c+a)(c+b) \\ \Leftrightarrow 2-b^2-c^2\geq (a+b)(a+c) \\ \Leftrightarrow 2-c^2-a^2\geq (b+a)(b+c)$

حکم رو بازنویسی می کنیم و از سه نامساوی به دست اومده استفاده می کنیم:

$\sum \frac{ab+1}{(a+b)^2}\geq 3 \\ \Leftrightarrow \sum \left (\frac{ab+1}{(a+b)^2}-\frac{1}{2} \right )\geq \frac{3}{2}$

$\sum \left (\frac{ab+1}{(a+b)^2}-\frac{1}{2} \right )=\frac{1}{2}\sum \frac{2-a^2-b^2}{(a+b)^2}\geq \frac{1}{2}\sum \frac{(c+a)(c+b)}{(a+b)^2}\geq \frac{3}{2}$

در آخرین نامساوی هم از AM-GM استفاده شد.

نابغه · 1391/2/6

پاسخ : نابرابری 2010 امریکا

hkh74 گفت

واقعا راه حل فوق العاده زیبایی برای حل این سوال نوشتین

نابرابری 2010 امریکا

math

New Member

hkh74

New Member

نابغه

New Member