نامساوی با عبارات گنگ

mmahdit · 1394/2/24

لطفا کثیف کاری نکنید. راه حل قشنگ داره.

فرض کنید

$a , b , c$

اعدادی حقیقی و مثبت باشند به طوری که

$a^2+b^2+c^2+abc=4$

ثابت کنید:

$a+b+c \leq \sqrt{2-a}+\sqrt{2-b}+\sqrt{2-c}$

Dadgarnia · 1394/2/30

پاسخ : نامساوی با عبارات گنگ

mmahdit گفت

ببخشيد من راه قشنگ تري پيدا نكردم! قرار ميديم

$a=2-x^2,b=2-y^2,c=2-z^2$

پس شرط سوال به عبارت زير تبديل ميشه:

$\left ( \sum_{cyc}x^2 \right )^2-8\sum_{cyc}x^2+16-x^2y^2z^2=0\Rightarrow \sum_{cyc}x^2=4\pm xyz$

اگه

$\sum_{cyc}x^2=4+ xyz$

بايد ثابت كنيم:

$\sum_{cyc}x\geq 2-xyz$

با فرض

$2\geq xyz$

داريم:

$4+xyz+2\sum_{cyc}xy=\sum_{cyc}x^2+2\sum_{cyc}xy\geq x^2y^2z^2-4xyz+4$

$\Leftrightarrow 2\sum_{cyc}xy\geq x^2y^2z^2-5xyz$

درستي نامساوي آخر با توجه به فرضي كه كرديم واضحه. حالا فرض مي كنيم

$\sum_{cyc}x^2=4-xyz$

. با استفاده از حسابي هندسي داريم:

$3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\leq \sum_{cyc}x^2=4-xyz \Rightarrow \left ( 1-\sqrt[3]{xyz} \right )(2+\sqrt[3]{xyz})^2\geq 0\Rightarrow xyz\leq 1$

از طرف ديگه مشابه حالت قبل بايد ثابت كنيم:

$2\sum_{cyc}xy\geq x^2y^2z^2+5xyz$

از نامساوي حسابي هندسي مي دونيم

$\sum_{cyc}xy\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$

پس كافيه ثابت كنيم:

$x^2y^2z^2+5xyz\leq 6\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Leftrightarrow xyz\sqrt[3]{xyz}+5\sqrt[3]{xyz}\leq 6$

كه با توجه به

$xyz\leq 1$

بديهيه.