نامساوی خوب

MGH000 · 1393/7/15

فرض:

$a,b,c > 0$

$abc<a+b+c$

حکم:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}>\sqrt{3}abc$

AHZolfaghari · 1393/7/15

پاسخ : نامساوی خوب

اگه بزرگ تر مساوی صفر باشه چه ایرادی پیدا میکنه ؟

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

در واقع فرض کنیم a,b,c بزرگتر مساوی صفر هستند و بطور همزمان همگی صفر نیستند .و حکم رو در این حالت اثبات کنیم

TheOverlord · 1393/7/15

پاسخ : نامساوی خوب

ابتدا دقت كنيد طبق حسابي هندسي

$\frac{a^4+a^4+b^4+c^4}{4} \geq a^2bc$

پس با جمع اين رابطه براي سه متغير و ضرب طرفين در

$abc$

داريم:
همچنين دقت كنيد كه

$\sum_{cyc} a^5bc \geq \sum_{cyc} a^3b^2c^2$

پس با جمع اين رابطه براي سه متغيره داريم

$b^3c+c^3b \geq 2b^2c^2 \Rightarrow a^3b^3c+a^3bc^3 \geq 2a^3b^2c^2 \su$

با جمع اين دو رابطه داريم:

$2\sum_{cyc}a^3b^3c \geq 2\sum_{cyc}a^3b^2c^2$

$2\sum_{cyc}a^3b^3c + \sum_{cyc}a^5bc \geq 3\sum_{cyc}a^3b^2c^2$

پس با تجزيه طرفين داريم:

$(a^2+b^2+c^2)^2abc \geq (\sqrt{3}abc)^2(a+b+c)$

اما بديهتا تقسيم اين رابطه بر فرض مساله نتيجه ميدهد كه

$(a^2+b^2+c^2)^2 > (\sqrt{3}abc)^2$

كه واضحا معادل حكم مساله است.

MGH000 · 1393/7/15

پاسخ : نامساوی خوب

TheOverlord گفت

دوست گرامی من اشتباه متوجه شدم یا شما اشتباه نوشتی؟چون طبق حسابی هندسی این ب دست میاد

$\frac{a^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}\geq a\sqrt{bc}$

نه اون چیزی ک شما نوشتین.

TheOverlord · 1393/7/15

پاسخ : نامساوی خوب

ببخشيد منظورم از a2 همون a4 بود

MGH000 · 1393/7/16

پاسخ : نامساوی خوب

ی راه حل ساده ترم با میکسینگ براش پیدا کردم گفتم بذارم:

$f(a,b,c)=a+b+c$

ب وضوح با حسابی هندسی داریم:

$f(a,b,c)\geq f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)$

پس min حالتی است که همه متغیر ها باهم برابر باشند که تو این حالت داریم:

$3a> a^{3}$

چون

$a\neq 0$

پس

$\sqrt3> a$

طبق فرض.
حال حکم میشود:

$3a^{2}> \sqrt{3}a^{3}$

که با ساده کردن داریم:

$\sqrt{3}> a$

که طبق فرض واضح است.

TheOverlord · 1393/7/16

پاسخ : نامساوی خوب

MGH000 گفت

ی راه حل ساده ترم با میکسینگ براش پیدا کردم گفتم بذارم:

$f(a,b,c)=a+b+c$

ب وضوح با حسابی هندسی داریم:

$f(a,b,c)\geq f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)$

پس min حالتی است که همه متغیر ها باهم برابر باشند که تو این حالت داریم:

$3a> a^{3}$

چون

$a\neq 0$

پس

$\sqrt3> a$

طبق فرض.
حال حکم میشود:

$3a^{2}> \sqrt{3}a^{3}$

که با ساده کردن داریم:

$\sqrt{3}> a$

که طبق فرض واضح است.

مطمئنيد كه ميكسينگ شما فرض مساله را حفظ ميكند؟

MGH000 · 1393/7/16

پاسخ : نامساوی خوب

TheOverlord گفت

بله چون در هر دو صورت حاصلضرب طرف کوچکتر نامساوی فرض برابر

$abc$

هست و طرف بزرگتر نامساوی کوچکتر می شه.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

TheOverlord گفت

بله چون در هر دو صورت حاصلضرب طرف کوچکتر نامساوی فرض برابر

$abc$

هست و طرف بزرگتر نامساوی کوچکتر می شه.

TheOverlord · 1393/7/16

پاسخ : نامساوی خوب

كوچك كردن طرف بزرگتر نامساوي حكم را قوي ميكند نه فرض را! فرض قطعا به هم ميخورد. براي مثال( 2,3,5/6) كه در فرض صدق ميكنند اما پس از يك مرحله عمليات به دنباله اي ميرسيم كه در فرض صدق نميكند.
در ميكسينگ شما نبايد فرض را قوي كنيد، بايد حكم را قوي كنيد !!

MGH000 · 1393/7/16

پاسخ : نامساوی خوب

TheOverlord گفت

درست میفرمایید من حواسم نبود اصن f مجموع توان دو های a,b,c هست نه مجموع a,b,c اشتباه نوشتم.الآن درست شد دیگه.

TheOverlord · 1393/7/16

پاسخ : نامساوی خوب

هنوز هم ميكسينگ شما فرض را از بين مي برد.

MGH000 · 1393/7/17

پاسخ : نامساوی خوب

TheOverlord گفت

بله درست میگید.

zoomtech · 1393/7/17

پاسخ : نامساوی خوب

TheOverlord گفت

فکر میکنم روشش درسته

نامساوی خوب

MGH000

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member

TheOverlord

New Member

MGH000

New Member

TheOverlord

New Member

MGH000

New Member

TheOverlord

New Member

MGH000

New Member

TheOverlord

New Member

MGH000

New Member

TheOverlord

New Member

MGH000

New Member

zoomtech

New Member