نامساوی ساده

MGH000 · 1393/7/16

فرض :

$a_{1},a_{2},...,a_{n}\geq 0$

,

$n> 3$

$\sum_{i=1}^{n} a_{i}\geq n$

,

$\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2} \geq n^{2}$

حکم:

$max(a_{1},a_{2},...,a_{n})\geq 2$

TheOverlord · 1393/7/16

پاسخ : نامساوی ساده

آيا از صورت سوال مطمئن هستيد؟ آيا شرط زائدي وجود ندارد؟

MGH000 · 1393/7/16

پاسخ : نامساوی ساده

TheOverlord گفت

بله مطمئنم.مشکلی وجود داره؟

Dadgarnia · 1393/7/19

پاسخ : نامساوی ساده

MGH000 گفت

بله اگه فرض كنيم

$a_1,a_2,\cdots,a_n< 2$

از شرط دوم نتيجه ميشه:

$4n> \sum_{i=1}^{n}a_i^2\geq n^2\Rightarrow 4> n$

كه تناقضه.

TheOverlord · 1393/7/19

پاسخ : نامساوی ساده

پس شرط اينكه جمع اعداد از n بيشتره زائده ديگه؟

Dadgarnia · 1393/7/19

پاسخ : نامساوی ساده

TheOverlord گفت

فكر مي كنم سوالو اشتباه نوشته باشن چون اينجوري كه خيلي راحت شد.

MGH000 · 1393/7/19

پاسخ : نامساوی ساده

Usamo 1999 p4

TheOverlord · 1393/7/20

پاسخ : نامساوی ساده

در ارن سوال اعداد لزوما مثبت نيستند.

MGH000 · 1393/7/20

پاسخ : نامساوی ساده

TheOverlord گفت

درست میگین.سوالو اینجوری یادم بود.الآن درست شد.

Dadgarnia · 1393/7/20

پاسخ : نامساوی ساده

فرض مي كنيم داشته باشيم

$2> a_1,a_2,\cdots,a_k\geq 0$

كه

$k<n$

است (اگر

$n=k$

باشد حكم به راحتي اثبات مي شود) و

$a_{k+1},a_{k+2},\cdots,a_n< 0$

. با توجه به صورت سوال داريم:

$4k+\sum_{i=k+1}^{n}a_i^2> n^2\Rightarrow \sum_{i=k+1}^{n}a_i^2> n^2-4k$

$2k+\sum_{i=k+1}^{n}a_i> n\Rightarrow -\sum_{i=k+1}^{n}a_i< 2k-n\Rightarrow \sum_{i=k+1}^{n}a_i^2+2\sum_{k+1\leq i< j}^{n} a_ia_j< n^2-4nk+4k^2$

با توجه به دو رابطه ي بدست آمده داريم:

$0< \sum_{k+1\leq i< j}^{n} a_ia_j< 2k(k-n+1)\leq 0$

كه تناقض است پس فرض اوليه غلط بوده و حكم ثابت مي شود.

نامساوی ساده

MGH000

New Member

TheOverlord

New Member

MGH000

New Member

Dadgarnia

New Member

TheOverlord

New Member

Dadgarnia

New Member

MGH000

New Member

TheOverlord

New Member

MGH000

New Member

Dadgarnia

New Member