نامساوی مرحله ی 3 سوال 11

shoki · 1388/12/21

ثابت کنید :
[center:62d0af52ae]

برای مشاهده ی باقی سوالات :

[/center:62d0af52ae]ftopicp-19744.html#19744

M_Sharifi · 1388/12/21

فرض می کنیم

$x=\frac ba,\quad y=\frac cb,\quad z=\frac ac$

. در این صورت

$xyz=1$

و باید ثابت کنیم:

[center:74c644c5eb]

$\frac1{x^2+x+1}+\frac1{y^2+y+1}+\frac1{z^2+z+1}\geq1$

راه حل اول.
مخرج مشترک می گیریم و عبارت های طرفین نابرابری رو ساده می کنیم. در نهایت به نابرابری

[/center:74c644c5eb][center:74c644c5eb]

$x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$

می رسیم که به وضوح درسته.
راه حل دوم.
چون

$xyz=1$

بنابراین دو تا از اعداد، مثلا

$x,y$

، وجود دارند که

$xy\geq1$

. حالا ثابت کنید

$\frac1{x^2+1}+\frac1{y^2+1}\geq\frac2{xy+1}$

از طرفی

$x^2+x+1\leq\frac32(x^2+1)$

. در نتیجه

$\frac1{x^2+x+1}+\frac1{y^2+y+1}\geq \frac23\left(\frac1{x^2+1}+\frac1{y^2+1}\right)\geq\frac43\cdot \frac 1{xy+1}=\frac{4z}{3(1+z)}$

بنابراین کافی است ثابت کنیم

$\frac{4z}{3(1+z)}+\frac1{z^2+z+1}\geq1$

این نابرابری نیز پس از ساده شدن به نابرابری درست

$z(z-1)^2\geq0$

تبدیل می شود.

[/center:74c644c5eb]

shoki · 1388/12/21

یه راه حله دیگه هم وجود داره ... راه حل خودم راه حل اولی بود ...