نامساوی مرحله ی 3 سوال 16

shoki · 1389/1/11

داریم

ثابت کنید :
[center:e3196c4f4b]

[/center:e3196c4f4b]

[center:e3196c4f4b][/center:e3196c4f4b]

M_Sharifi · 1389/1/12

این نابرابری قوی تر هم درسته:

[center:bd1a90d399]

$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{a^2-ac+c^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$

[/center:bd1a90d399]

saham_74 · 1389/1/13

این که خیلی آسون بود!
اون نابرابری ای رو که مهندس شریفی فرمودن مخرج مشترک می گیریم بعدش طرفین وسطین می کنیم .
بعد با استفاده از نابرابری شور (در حالت r=5 ) جملات اضافی رو حذف می کنیم به این میرسیم که:

که با AM-GM به راحتی اثبات میشه.

M_Sharifi · 1389/1/14

این هم یه راه حل دیگه:
طبق نابرابری کوشی شوارتز،
[center:7fd6e37e35]

$\sum\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}\cdot\sum a(b^2-bc+c^2)\geq(a^2+b^2+c^2)^2$

[/center:7fd6e37e35]بنابراین کافی است ثابت کنیم
[center:7fd6e37e35]

$(a^2+b^2+c^2)^2\geq(a+b+c)\sum a(b^2-bc+c^2)$

که این نابرابری هم پس از ساده شدن به صورت

$\sum a^4+\sum a^2bc\geq\sum a^3b+\sum a^3c$

در می آید که همان نابرابری شور در حالت

$r=2$

است.

[/center:7fd6e37e35]

نامساوی مرحله ی 3 سوال 16

shoki

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

saham_74

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی