نامساوی مرحله ی 3 سوال 17

shoki · 1389/1/17

[center:560ce99927]

ثابت کنید :

[/center:560ce99927]

M_Sharifi · 1389/1/18

طبق فرض مسئله، مخرج ها مثبت اند. از نابرابری کوشی-شوارتز نتیجه می گیریم

[center:07b15be734]

$\sum\frac{b\sqrt a}{4b\sqrt c-c\sqrt a}\cdot\sum \sqrt a(4b\sqrt c-c\sqrt a)\geq\left(\sum \sqrt {ba}\right)^2$

بنابرابن کافی است ثابت کنیم

$\left(\sum \sqrt {ba}\right)^2\geq\sum \sqrt a(4b\sqrt c-c\sqrt a)$

که با جایگذاری

$\sqrt{ab}=x,~\sqrt{bc}=y,~\sqrt{ca}=z$

به نابرابری معروف

$x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$

تبدیل می شود.

[/center:07b15be734]