نامساوی مرحله ی 3 سوال 19

shoki · 1389/1/17

فرض کنید که

و

ثابت کنید :

[center:6677475555]

[/center:6677475555]

seifi_seifi · 1389/1/17

$(\sum \frac{a^2+b^2}{a+b})(\sum (a+b)(a^2+b^2))\geq \overset{36}{\overbrace{{(2a^2+2b^2+2c^2)^2}}}\geq 3\Leftrightarrow \sum (a+b)(a^2+b^2)\leq 12$

پس باید ثابت کنیم :

$\sum (a+b)(a^2+b^2)\leq 12$

داریم :

$\sum (a+b)(a^2+b^2)=\sum a^3+3\sum a$

پس باید ثابت کنیم :

$\sum a^3+3\sum a \leq 12$

برای این کار ثابت میکنیم :

$$\sum a^2\geq \sum a$

(که با کوشی به سادگی اثبات میشود) و

$$\sum a^2\geq \sum a^3$

(این قسمت هم با کوشی و نابرابری قبل ثابت میشود)

حال داریم :

$$3\sum a + \sum a^3\leq \overset{12}{\overbrace{4\sum a^2}}$

و اثبات کامل شد.

M_Sharifi · 1389/1/17

seifi_seifi گفت

نابرابری دومت که غلطه.

M_Sharifi · 1389/1/17

طبق نابرابری کوشی-شوارتز،

[center:2cf56c2b71]

$\sum\frac{a^2+b^2}{a+b}\cdot\sum a+b\geq\left(\sum\sqrt{a^2+b^2}\right)^2=2\sum a^2+2\sum\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq2\sum a^2+2\sum (a^2+bc)=9+(a+b+c)^2$

[/center:2cf56c2b71]بنابرابن کافی است ثابت کنیم

[center:2cf56c2b71]

$9+(a+b+c)^2\geq 6(a+b+c)$

که همون نابرابری میانگین حسابی-هندسیه.

[/center:2cf56c2b71]

shoki · 1389/1/17

با استفاده از تغییر متغیر

نامساوی تبدیل می شود به :

[center:297b6faeb6]

[/center:297b6faeb6][center:297b6faeb6]

با شرط :

[/center:297b6faeb6][center:297b6faeb6]

[/center:297b6faeb6]
حال کافیست از دو نامساوی ftopict-2228.html و

که برای همه ی اعداد

برقرارند استفاده کنید و حکم را نتیجه بگیرید .

seifi_seifi · 1389/1/17

آقا شریفی

$3\sum a + \sum a^3\leq 12$

غلطه؟

M_Sharifi · 1389/1/17

seifi_seifi گفت

آره. مثال نقضش هم

$a=\sqrt2,~b=c=\frac{\sqrt2}2$

که مقدار اون عبارت میشه

$12.0208...$

. (یکی از نقاطیه که برای روش لاگرانژ باید بررسی کرد)

نامساوی مرحله ی 3 سوال 19

shoki

New Member

seifi_seifi

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

M_Sharifi

راهبر ریاضی

shoki

New Member

seifi_seifi

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی