نامساوی مرحله ی 3 سوال 24

shoki · 1389/1/22

اگر

$x,y,z\geq0$

و

$x+y+z=1$

ثابت کنید :
[center:e17372cf06]

$\frac12\leq\frac1{1+x^2}+\frac1{1+y^2}+\frac1{1+z^2}\leq\frac35$

[/center:e17372cf06]

seifi_seifi · 1389/1/22

این نامساوی را

$\100dpi \sum \frac{1}{x^2+1}\geq \frac{5}{2}$

مخرج مشترک میگیریم و طرفین وسطین و با لاگرانژ به سادگی اثبات میشود.

ولی طرف دیگر : داریم :

$\100dpi \sum \frac{1}{x^2+1}=\sum \frac{1}{\frac{8}{9}+\frac{1}{9}+x^2}\leq \sum \frac{1}{\frac{8}{9}+\frac{2x}{3}}=\sum \frac{9}{8+6x}$

پس باید ثابت کنیم :

$\100dpi \sum \frac{9}{8+6x}\leq \frac{27}{10}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{4+3x}\leq \frac{3}{5}$

حال برای این نامساوی از لاگرانژ استفاده میکنیم.

shoki · 1389/1/22

لزومی نداره یادآور بشم ولی خب یادتون نره که توی دوره هم لاگرانژ رو نمی پذیرند ...

پس سعی کنید راحت تر حلش کنید ... به هر حال ممنونم که فکر کردید و جواب دادید ...

اصلا بد نیست بدونید که با لاگرانژ هم ماکسیمم و هم مینیمم هم زمان بدست می یاد و لزومی هم نداره حسابی -هندسی بهش اضافه کنید ...

M_Sharifi · 1389/1/22

seifi_seifi گفت

اون نابرابری آخری که نوشتی، غلطه. چه جوری می خوای با لاگرانژ یه حکم غلط رو ثابت کنی؟

shoki · 1389/1/22

حالا زیاد مهم نیست آقای شریفی

مهم اینه که با لاگرانژ حل می شه ... و همون طور که گفتم
هم ماکسیمم و هم مینیمم هم زمان بدست می یاد... می تونید به این یکی مطمئن باشید ... چون به دقت چند وقت پیش اینو بررسی کردم ...

M_Sharifi · 1389/1/22

قسمت الف)
[center:dd914686b3]

$\sum_{\textbf{cyc}}\frac1{1+x^2}=3-\sum_{\textbf{cyc}}\frac{x^2}{1+x^2}\geq3-\sum_{\textbf{cyc}}\frac{x^2}{2x}=3-\frac12\sum_{\textbf{cyc}} x=\frac52$

[/center:dd914686b3]
قسمت ب)
راه حل اول.
فرض می کنیم

$x=\frac a3,~y=\frac b3,~z=\frac c3$

. بنابراین

$a+b+c=3$

و باید ثابت کنیم

[center:dd914686b3]

$\sum_{\textbf{cyc}}\frac 1{9+a^2}\leq\frac3{10}$

داریم

$\frac1{9+a^2}\leq -\frac1{50}a+\frac6{50}\iff (a^2+9)(6-a)\geq50\iff (a-1)^2(4-a)\geq0$

چراکه

$0\leq a\leq3$

. بنابراین

$\sum_{\textbf{cyc}}\frac 1{9+a^2}\leq\sum_{\textbf{cyc}}-\frac1{50}a+\frac{18}{50}=-\frac3{50}+\frac{18}{50}=\frac3{10}$

راه حل دوم. کافی است ثابت کنیم

$\sum_{\textbf{cyc}}\frac {a^2}{9+a^2}\geq\frac3{10}$

طبق نابرابری کوشی-شوارتز،

$\left(\sum_{\textbf{cyc}}\frac {a^2}{9+a^2}\right)\cdot\left(\sum_{\textbf{cyc}}a^2(9+a^2) \right )\geq\left(\sum a^2\right)^2$

بنابراین کافی است ثابت کنیم

$\left(\sum a^2\right)^2\geq\frac{3}{10}\left(\sum_{\textbf{cyc}}a^2(9+a^2) \right )=\frac3{10}\sum_{\textbf{cyc}}a^2\left(\sum_{\textbf{cyc}}a\right)^2+\frac3{10}\sum_{\textbf{cyc}}a^4$

این نابرابری هم بعد از ساده شدن به صورت

$2\sum_{\textbf{cyc}} a^4+7\sum_{\textbf{cyc}}a^2b^2\geq3\sum_{\textbf{sym}}a^3b+3\sum_{\textbf{cyc}}a^2bc$

در می آید که از جمع بستن نابرابری های

$2\sum a^4+6\sum a^2b^2\geq4\sum a^3b+4\sum ab^3$

و

$\sum a^3b+\sum ab^3+\sum a^2b^2\geq3\sum a^2bc$

[/center:dd914686b3]به دست می آید.

نامساوی مرحله ی 3 سوال 24

shoki

New Member

seifi_seifi

New Member

shoki

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

shoki

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی