نامساوی مرحله ی 3 سوال 25

shoki · 1389/1/22

ثابت کنید :
[center:95566272d8]

[/center:95566272d8]

M_Sharifi · 1389/1/25

داریم

[center:ac8ee30f68]

$\sum_{\textbf{cyc}}\frac1{1-ab}\leq\frac{16}3\iff\sum_{\textbf{cyc}}\frac{1-2ab}{1-ab}\geq\frac83$

از طرفی

$1-2ab\geq 1-a^2-b^2=c^2+d^2>0$

. بنابراین صورت ها و مخرج ها مثبت اند. حال طبق نابرابری کوشی-شوارتز،

[/center:ac8ee30f68][center:ac8ee30f68]

$\sum_{\textbf{cyc}}\frac{1-2ab}{1-ab}\geq\frac{\left(\sum_{\textbf{cyc}}(1-2ab)\right)^2}{\sum_{\textbf{cyc}}(1-2ab)(1-ab)}$

بنابراین کافی است ثابت کنیم

$\left(\sum_{\textbf{cyc}}(1-2ab)\right)^2\geq\frac83{\sum_{\textbf{cyc}}(1-2ab)(1-ab)}$

که این نابرابری پس از ساده شدن، به صورت

$4+3\left(\sum_{\textbf{cyc}}ab \right )^2\geq4\sum_{\textbf{cyc}}a^2b^2+6\sum_{\textbf{cyc}} ab$

در می آید، که این نابرابری هم از جمع بستن نابرابری های

$4\sum_{\textbf{cyc}}a^2b^2=4(a^2+d^2)(b^2+c^2)\leq(a^2+b^2+c^2+d^2)^2=1$

و

$3\left(\big(\sum_{\textbf{cyc}}ab\big)^2+1\right)\geq6\sum_{\textbf{cyc}}ab$

به دست می آید.

[/center:ac8ee30f68]