نامساوی مرحله ی 3 سوال 3

[shoki]

اگر

و

و

ثابت کنید :
[center:391cd4e6f2]

[/center:391cd4e6f2]برای مشاهده ی سوالات : ftopicp-19744.html#19744

 

[sabbasizadeh]

با استفاده از استقرا و کوشی حکم برای n های بزرگتر یا مساوی 3 بدیهی میشه
فقط می مونه پایه ی استقرا (n=1)
برای پایه ی استقرا هم می دانیم(a^2)+(a)+(1)> 3(a^3)
البته این نامساوی بالا حالت تساوی هم داره که چون من بلد نیستم تو این سایت با لاتکس بنویسم نمیتونم تایپش کنم

 

[seifi_seifi]

با استقرا ثابت میکنیم.حکم به ازای n=1 بدیهی است(AM_GM)

حال فرض کنید حکم به ازای n=k بر قرار است. داریم :

a[SUP]k+1[/SUP] +b[SUP]k+1[/SUP] + c[SUP]k+1[/SUP] + a[SUP]k-1[/SUP] + b[SUP]k-1[/SUP] + c[SUP]k-1[/SUP]>=2a[SUP]k[/SUP]+2b[SUP]k[/SUP]+2c[SUP]k[/SUP]--->2a[SUP]k[/SUP]+2b[SUP]k[/SUP]+2c[SUP]k[/SUP]-a[SUP]k-1[/SUP]+b[SUP]k-1[/SUP]+c[SUP]k-1[/SUP]=<a[SUP]k+1[/SUP]+b[SUP]k+1[/SUP]+c[SUP]k+1[/SUP]

از طرفی طبق فرض استقرا a[SUP]k[/SUP]+b[SUP]k[/SUP]+c[SUP]k[/SUP]=>a[SUP]k-1[/SUP]+b[SUP]k-1[/SUP]+c[SUP]k-1[/SUP] پس :

a[SUP]k+1[/SUP]+b[SUP]k+1[/SUP]+c[SUP]k+1[/SUP]=>2a[SUP]k[/SUP]+2b[SUP]k[/SUP]+2c[SUP]k[/SUP]-a[SUP]k-1[/SUP]+b[SUP]k-1[/SUP]+c[SUP]k-1[/SUP]=>a[SUP]k[/SUP]+b[SUP]k[/SUP]+c[SUP]k[/SUP]

و اثبات کامل شد.

شرمنده با latex ننوشتم چون دستم هنوز تند نشده و 1 ساعت طول میکشه تا بنویسم.​

 

[shoki]

می تونید از حسابی هندسی هم استفاده کنید ... داریم :{ a^n+a^n+...+a^n+1 >= (n-1)a^{n-1 که در آن a^n به تعداد n-1 بار تکرار شده است.
البته این نکته رو هم بهش توجه کنید که : a^n+b^n+c^n >= 3 .