نامساوی مرحله ی 3 سوال 5

shoki · 1388/12/14

فرض کنید که

و

. ثابت شود :
[center:38b90a0613]

[/center:38b90a0613]

farid_frd · 1388/12/14

سمت چپش که خیلی آسون با حسابی توافقی حله ولی سمت راستش ...

301EC · 1388/12/14

IMO 1984!l

LHS ke ba AM-GM be rahaT hal mishe. va amma RHS:

Halle 1: chon a+b+c=1, ba estefade az Shour be asani sabet mishe ke:
4(ab+bc+ca)= 1+9abc. ba estefade az ein kafi'e ke sabet konim
1/27 >=abc
ke ein ham ba estefade az shart, be sadegi sabet mishe.

Halle2:az tagh'iir moteghayyere zir estefade mikonim:
a=yz, b=zx, c=xy
RHS'e namosaV be shekle zir dar miad:
xy+yz+zx=1 → xyz(x+y+z) >= 7/27+2x[SUP]2[/SUP]y[SUP]2[/SUP]z[SUP]2[/SUP]
hala ba tavajjoh be sharte namosaV'e jadid tagh'iir moteghayyere zir ra be kar migirim:
x=tgA, y=tgB, z=tgC, ke 2A,2B,2C zaV'e haye yek mosallas and.
kafi'e az rabetehaye
tgA + tgB + thC = (4R+r)/p, tgA.tgB.tgC=r/p, p[SUP]2[/SUP]>=2R[SUP]2[/SUP]+8Rr+3r[SUP]2
[/SUP]estefade konim ta be namosaV'e zir bereCm:
7R[SUP]2[/SUP]+24r[SUP]2 [/SUP]>=26Rr
ke ba es tefade az AM-GM & R>=2r sabet mishe.
linkhaye zir ro ham pishnahad mikonam bebinid:

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=35433
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=33007

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=40857 post #59 problem 15

M_Sharifi · 1388/12/15

از نابرابری شور (حالت r=1) نتیجه می گیریم (ثابت کنید)
[center:068119f62c]

$\frac {9abc}{a+b+c}\geq2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)$

[/center:068119f62c]بنابراین
[center:068119f62c]

$\sum ab-2abc\leq\sum {ab}-\frac29(2\sum ab-\sum a^2)$

$=\frac19(5\sum ab+2\sum a^2)=\frac19\big(2(\sum a)^2+\sum ab\big)$

$=\frac29+\frac19\sum ab$

حالا کافیه از نابرابری

$\sum ab\leq\frac{(a+b+c)^2}3=\frac13$

استفاده کنیم.

[/center:068119f62c]

301EC · 1388/12/15

M_Sharifi گفت

aghaye Sharifi fekr nemikonin ke ein halletun hamun halle avvale mane?l

ein soal, soale IMO 1984 bude ...!!!!!!!l

M_Sharifi · 1388/12/15

چون فارسی ننوشته بودی به راه حلت دقت نکردم. ولی این هم یه راه حل:
نابرابری مسئله را بازنویسی می کنیم:
[center:321b67a631]

$ab+bc+ca-2abc\leq\frac7{27}\iff (1-2a)(1-2b)(1-2c)\leq\frac1{27}$

[/center:321b67a631]ضمن این که حداکثر یکی از عبارت های

$1-2a,1-2b,1-2c$

منفی است (چرا؟). اگر دقیقا یکی از این عبارت ها منفی باشد، نابرابری به وضوح برقرار می شود. در غیر این صورت، طبق نابرابری میانگین حسابی-هندسی،
[center:321b67a631]

$(1-2a)(1-2b)(1-2c)\leq\left(\frac{3-2(a+b+c)}3 \right )^3=\frac1{27}$

[/center:321b67a631]

نامساوی مرحله ی 3 سوال 5

shoki

New Member

farid_frd

New Member

301EC

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

301EC

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی