نامساوی هندسی

mrbayat · 1389/4/25

برای مثلث حاده الزاویه

$ABC$

با اضلاع

$a,b,c$

و محیط

$2p$

ثابت کنید:

$\sum a\cdot Sin\frac{A}{2}\geq p$

mahanmath · 1389/4/25

هم ارز با :

$\forall x,y,z \in \mathbb{R^+}$

$\geq (x+y+z)(x+y)(x+z)(y+z)$

$4(x^2 +y^2+z^2+xy+xz+yz)\sqrt{xyz(x+y+z)}$

mrbayat · 1389/4/26

طبق نامساوی کوشی شوارتز می دانیم:

$(\sum a\cdot Sin\frac{A}{2})(\sum \frac{a}{sin\frac{A}{2}})\geq 4p^{2}$

پس کافیست ثابت کنیم:

$(\sum \frac{a}{sin\frac{A}{2}})\leq 4p$

با ضرب دو طرف این نامساوی در

$r$

به این نامساوی می رسیم:

$\sum a\cdot AI\leq 4S$

و می دانیم:

$AI=\frac{bc}{p}\cdot Cos \frac{A}{2}$

و می دانیم:

$S=\frac{abc}{4R}$

با جای گذاری این دو رابطه در نامساوی باید ثابت کنیم:

$\frac{p}{R}\geq \sum Cos \frac{A}{2}$

طبق نابرابری ینسن می دانیم:

$\frac{\sqrt{3}}{2}\geq \sum Cos \frac{A}{2}$

حالا می خواهیم ثابت کنیم:

$\frac{p}{R}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

یا:

$a+b+c\geq R\sqrt{3}$

عبارت

$a=2R\cdot Sin A$

را جای گذاری می کنیم. پس باید ثابت کنیم:

$\sum Sin A \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

که این هم طبق نابرابری ینسن صحیح است. پس حکم مسئله ثابت شد.

M_Sharifi · 1389/4/26

mmath گفت

البته باید شرط حاده بودن مثلث هم لحاظ بشه.

M_Sharifi · 1389/4/26

mrbayat گفت

راه حل من:

طبق نامساوی کوشی شوارتز می دانیم:

$(\sum a\cdot Sin A )(\sum \frac{a}{Sin A})\geq 4p^2$

پس کافیست ثابت کنیم:

$(\sum \frac{a}{Sin A})\leq 4p$

با ضرب دو طرف این نامساوی

$r$

در به این نامساوی می رسیم:

$\sum a\cdot AI\leq 4S$

و می دانیم:

$AI=\frac{bc}{p}\cdot Cos \frac{A}{2}$

و می دانیم:

$S=\frac{abc}{4R}$

با جای گذاری این دو رابطه در نامساوی باید ثابت کنیم:

$\frac{p}{R}\geq \sum Cos \frac{A}{2}$

طبق نابرابری ینسن می دانیم:

$\frac{\sqrt{3}}{2}\geq \sum Cos \frac{A}{2}$

حالا می خواهیم ثابت کنیم:

$\frac{p}{R}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

یا:

$a+b+c\geq R\sqrt{3}$

عبارت

$a=2R\cdot Sin A$

را جای گذاری می کنیم. پس باید ثابت کنیم:

$\sum Sin A \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

که این هم طبق نابرابری ینسن صحیح است. پس حکم مسئله ثابت شد.

اون نابرابری آخر ربطی به ینسن نداره و نابرابری ضعیفیه. صورت اصلی سوال، همین چیزیه که نوشتی یا نابرابری قوی تریه؟

mahanmath · 1389/4/26

منم واسه همین نابرابری هم ارزشو نوشتم که تساوی نداره

؟!!!؟!!! باید یه رادیکال 3 تو RHS ضرب شه.

M_Sharifi · 1389/4/26

mmath گفت

منظورم این بود که بدون شرط حاده بودن، نابرابری که شما نوشتی غلط میشه.
ضمن این که رادیکال 3 هم ضرب کنیم، نابرابری غلط میشه!

mahanmath · 1389/4/26

M_Sharifi گفت

من منظورم نابرابریه هندسی بود نه اونی که x,y,z داره !
البته شما درست میفرمایید با اون تغییر نابرابری غلط میشه . ولی باید یه یه چیزی تو یه طرف کم باشه چون نابرابری آخر تساوی نداره !

ممنون از توجهتون .

mahanmath · 1389/4/26

آها .... اینم یه لینک جالب

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=379&t=91399

واقعا جالبه

...

M_Sharifi · 1389/4/26

حالا بگید بزرگ ترین مقدار

$c$

که نابرابری

$\sum a\sin A\geq cp$

در هر مثلث حاده الزاویه برقرار باشه چقدره و نابرابریش رو اثبات کنید.

mrbayat · 1389/4/26

M_Sharifi گفت

از سوتی ای که دادم به شدت معذرت!!!

من این نابرابری رو از همون لینکی که mmath گذاشته نوشتم. دوباره شدیدا معذرت !!! صورت سوال اصلاح شد.

navidjalalmanesh · 1389/4/26

M_Sharifi گفت

$c = \sqrt 3$

M_Sharifi · 1389/4/27

navidjalalmanesh گفت

M_Sharifi گفت

$c = \sqrt 3$

درست نیست.

navidjalalmanesh · 1389/4/28

منظورم

$c = \frac{4}{\sqrt 3}$

بود , این هم درست نیست؟

M_Sharifi · 1389/4/28

navidjalalmanesh گفت

بدتر شد.

navidjalalmanesh · 1389/4/28

خوب پس باید بشینم حساب کنم (تو حدس زدن شانس ندارم

)

این c آخری که گفتم که دیگه فاجعه بود

mrbayat · 1389/4/29

نامساوی

$\sum a\cdot Sin\frac{A}{2}\geq p$

هم ارز با:

$\forall x,y,z \in \mathbb{R^+}$

$\sum (x+y)\sqrt{(x+y)xy}\geq (x+y+z)\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}$

نامساوی هندسی

mrbayat

New Member

mahanmath

New Member

mrbayat

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mahanmath

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mahanmath

New Member

mahanmath

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mrbayat

New Member

navidjalalmanesh

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

navidjalalmanesh

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

navidjalalmanesh

New Member

mrbayat

New Member