نامساوی

math-sina · 1390/11/23

فرض کنید

$a,b,c>0$

و می دانیم :

$ab+bc+ca=3abc$

ثابت کنید :

$\frac{bc\sqrt{1+3{{a}^{2}}}}{b+3ca}+\frac{ca\sqrt{1+3{{b}^{2}}}}{c+3ab}+\frac{ab\sqrt{1+3{{c}^{2}}}}{a+3bc}\ge\frac{3}{2}$

hkh74 · 1390/11/23

پاسخ : نامساوی

اگر قرار دهیم

$x=\frac{1}{a} \ ,y=\frac{1}{b} \ ,z=\frac{1}{c}$

فرض به

$x+y+z=3$

و حکم به

$\sum_{cyc}\frac{\sqrt{x^2+3}}{xz+3y}\geq \frac{3}{2}$

تبدیل می شود.

$xz+3y=xz+(x+y+z)y=y^2+y(x+z)+xz=(y+x)(y+z) \\ \Rightarrow xz+3y\leq \left ( \frac{y+x+y+z}{2} \right )^2=\frac{(y+3)^2}{4}\; \textbf{(1)}$

اما از کوشی به دست می آید:

$(x^2+3)(1+3)\geq (x+3)^2\Rightarrow \sqrt{x^2+3}\geq \frac{x+3}{2}\; \textbf{(2)}$

از (1) و (2) داریم

$\sum_{cyc}\frac{\sqrt{x^2+3}}{xz+3y}\geq 2\sum_{cyc}\frac{x+3}{(y+3)^2}$

اما باز هم از کوشی و حسابی-هندسی به دست می آید:

$\sum_{cyc}\frac{x+3}{(y+3)^2} \sum_{cyc}\frac{1}{x+3}\geq \left (\sum_{cyc}\frac{1}{y+3} \right )^2=\left (\sum_{cyc}\frac{1}{x+3} \right )^2 \\ \Rightarrow \sum_{cyc}\frac{x+3}{(y+3)^2}\geq \sum_{cyc}\frac{1}{x+3}\geq \frac{9}{\sum_{cyc}{(x+3)}}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4} \\ \Rightarrow \sum_{cyc}\frac{\sqrt{x^2+3}}{xz+3y}\geq 2\sum_{cyc}\frac{x+3}{(y+3)^2}\geq 2\left (\frac{3}{4} \right )=\frac{3}{2}$

و اثبات به پایان می رسد.

اگر اشکالی بود لطفا بگید.

math-sina · 1390/11/23

پاسخ : نامساوی

همیشه از اینجا لینک میدن به Mathlinks!
یه بارم ما از Mathlinks لینک دادیم به اینجا :4::24:

AoPS Forum - Inequality! • Art of Problem Solving

khayyam- · 1390/12/27

پاسخ : نامساوی

سلام دوست عزیز.

میشه این قسمت رو دقیق توضیح بدی:

$xz+3y\leq(\frac{y+x+y+z}{2})^{2}$

threehandsnal · 1390/12/27

پاسخ : نامساوی

شما اگه خط بالایی این قسمت رو بخونین مشکلتون حلله :65:

$xz+3y=(y+x)(y+z)\Rightarrow AM-GM:\sqrt{xz+3y}=\sqrt{(y+x)(y+z)}\leq\: \: \: \leq \frac{y+x+y+z}{2}\Rightarrow xz+3y\leq (\frac{y+x+y+z}{2})^2=(\frac{3+y}{2})^2$

khayyam- · 1390/12/27

پاسخ : نامساوی

threehandsnal گفت

ممنون از لطفتون!

khayyam- · 1390/12/27

پاسخ : نامساوی

hkh74 گفت

تا اونجایی که من میدونم نامساوی کوشی به این صورت هست:

حال اینو بنا بر چی نوشتی:

$(x^2+3)(1+3)\geq(x+3)^2$

goodarz · 1390/12/27

پاسخ : نامساوی

khayyam- گفت

دقیقا بر اساس نامساوی کوشی برای اعداد حقیقی!!!

threehandsnal · 1390/12/27

پاسخ : نامساوی

$x_1=x,x_2=\sqrt{3},y_1=1,y_2=\sqrt{3}\Rightarrow (x_1y_1+x_2y_2)^2\leq (x_1^2+x_2^2)(y_1^2+y_2^2)\Rightarrow (x+3)^2\leq (x^2+3).(1+3)$

ali_irysc · 1390/12/28

پاسخ : نامساوی

math-sina گفت

عجب کاری کردی بابا کلی خندیدم ایول :24::24:
من قبلا دیده بودم لینک داده بودی ولی فکر می کردم تو aops جواب رو نوشتن

threehandsnal · 1390/12/28

پاسخ : نامساوی

ali_irysc گفت

کجاشو دیدی؟ :4:
اینجارو هم نگاه کن:
ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا - صفحه 6

نامساوی

math-sina

New Member

hkh74

New Member

math-sina

New Member

khayyam-

New Member

threehandsnal

New Member

khayyam-

New Member

khayyam-

New Member

goodarz

Well-Known Member

threehandsnal

New Member

ali_irysc

New Member

threehandsnal

New Member