نامساوی

fatema23 · 1391/11/16

اگر a,b>0 باشند و داشته باشیم :

$a^2+b^2=1$

ثابت کنید :

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\geqslant \sqrt{2}$

math · 1391/11/16

پاسخ : نامساوی

میشه بپرسم سوال برای کجا بوده ؟

mahanmath · 1391/11/16

پاسخ : نامساوی

$\left ( \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a} \right )^2 - 2(a^2 + b^2) = \frac{a^4}{b^2} + \frac{b^4}{a^2} - a^2 -b^2 - (a-b)^2 \\ \\ = \frac{a^6 + b^6 - a^2 b^2 (a^2 + b^2)}{a^2 b^2} - (a-b)^2 \\ \\ = (a-b)^2 ( \frac{(a+b)^2 (a^2 + b^2)}{a^2b^2} - 1) \geq 0$

math7 · 1391/11/16

پاسخ : نامساوی

من راه حلم اینه:
طبق نامساوی هندسی توافقی داریم:

$\sqrt{\frac{1}{ab}}\geqslant \frac{2}{\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}}\Rightarrow 2\sqrt{ab}\leqslant{\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}}$

و بنابر حسابی هندسی و طبق فرض که مجموع مربعات a و b یک می باشد :

$\frac{a^{2}+{b^{2}}}{2}=\frac{1}{2}\geq \sqrt{ab}$

پس بیشترین مقدار

$\sqrt{ab}$

برابر

$\frac{1}{2}$

است اگر این مقدار را در رابطه ی (1) قرار دهیم نامساوی اثبات میشود

$\frac{2}{\sqrt{2}}={\sqrt{2}}\leq \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}$

لطفا اگه راه حلم مشکلی داره بگین

M_Sharifi · 1391/11/16

پاسخ : نامساوی

math7 گفت

شما باید حداقل

$\sqrt{ab}$

رو بذارید، نه حداکثرش رو. پس راهتون درست نیست.

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}=\frac{a+b}{ab}(a^2-ab+b^2)\geq\frac{2(a^2-ab+b^2)}{\sqrt{ab}}\geq\frac{2(1-\frac12)}{\sqrt{\frac12}}=\sqrt2$

نامساوی

fatema23

New Member

math

New Member

mahanmath

New Member

math7

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی