یه تابع خوشگل کمی تا حدی ایده دار :-؟؟
پاسخ : یه تابع خوشگل کمی تا حدی ایده دار :-؟؟
قرار می دهیم:
=f(x)-f(0))
پس
=0)
. فرض مسئله نیز به
+g(a)+g(b)+g(c)=g(a+b)+g(b+c)+g(c+a))
تبدیل می شود (
) . این فرض را با
)
نمایش می دهیم.
:g(a)+g(b)+g(-a-b)=g(a+b)+g(-a)+g(-b))
توجه کنید که اگر تابعی مثل
دارای شرط
=f(x)+f(y))
باشد، آنگاه
=cx+d(\forall&space;x\in&space;\mathbb{Q}))
و c و d ثابت هایی حقیقی اند(که با توجه به توابع کوشی واضح است)
قرار می دهیم:
=g(x)-g(-x))
که
و طبق رابطه ی بالا
=t(a)+t(b))
و
=0)
با توجه به نکته بالا
=cx\text{&space;}(\forall&space;x\in&space;\mathbb{Q})\text{&space;(1)})
تابع دو متغیره ی
)
را به صورت
=g(x+y)-g(x)-g(y))
(با توجه به دامنه ی g ) تعریف می کنیم ( واضح است که
=h(y,x))
) بنابراین:
+g(a)+g(b)+g(c)=g(a+b)+g(b+c)+g(c+a)&space;\\&space;\Rightarrow&space;g(a+b+c)-g(a+b)-g(c)=[g(b+c)-g(b)-g(c)]+[g(a+c)-g(a)-g(c)]&space;\\&space;\Rightarrow&space;h(a+b,c)=h(b,c)+h(a,c))
اگر مشابه مراحل یافتن توابع کوشی را برای این تابع (بدون در نظر گرفتن c) دنبال کنیم (با توجه به اینکه از تعریف این تابع می توان نتیجه گرفت
=0)
) به رابطه ی زیر می رسیم:
=xh(1,c)\Rightarrow&space;h(x,c)=xh(c,1)=cxh(1,1)=cxk\text{&space;}(\forall&space;x,c\in&space;\mathbb{Q})&space;\\&space;\Rightarrow&space;g(x+y)-g(x)-g(y)=kxy&space;\Rightarrow&space;g(x-x)-g(x)-g(-x)=kx(-x)&space;\\&space;\Rightarrow&space;g(x)+g(-x)=kx^2\text{&space;(2)})
از روابط (1) و (2) دو معادله دو مجهول برای ضابطه های
,g(-x))
به دست می آید. با جایگذاری ضابطه ی به دست آمده در فرض
جواب های زیر به دست می آید:
=ax^2+bx\text{&space;}(a,b\in&space;\mathbb{R})\\&space;\Rightarrow&space;f(x)=ax^2+bx+c\text{&space;}(a,b,c\in&space;\mathbb{R}))
اگر به نظرتون جایی از اثبات اشکال داشت لطفا بگید.
قرار می دهیم:
قرار می دهیم:
تابع دو متغیره ی
آخرین ویرایش توسط مدیر
- ارسال ها
- 364
- لایک ها
- 183
- امتیاز
- 0
پاسخ : یه تابع خوشگل کمی تا حدی ایده دار :-؟؟
اینطوری هم میشه گفت: اعداد a,b,c یافت میشوند که
. بعد با دو معادله دو مجهول، f(-2) و f(2) در میاد و با استقرا f(n) در میاد. برای اعداد گویا فرض میکنیم
.در اینصورت نیز به همان ترتیب با استقرا
به دست میاد. مخصوصا اینکه
و
به دست میآید و در نتیجه e و f از a,b,c به دست میآیند و تابع کلا به دست میآید.
اینطوری هم میشه گفت: اعداد a,b,c یافت میشوند که
- ارسال ها
- 327
- لایک ها
- 378
- امتیاز
- 0
پاسخ : یه تابع خوشگل کمی تا حدی ایده دار :-؟؟
راه هر دوتون خیلی قشنگ بود.خیلی خوب حلّیدین!
البته من یه اثبات دیگه هم از این راه حل یه جا دیده بودم براتون میذارم ولی نمیدونم کجای راهش غلطه!(روش حل خود من مثل hkh74 بود)
اینم لینکش:
راه هر دوتون خیلی قشنگ بود.خیلی خوب حلّیدین!
البته من یه اثبات دیگه هم از این راه حل یه جا دیده بودم براتون میذارم ولی نمیدونم کجای راهش غلطه!(روش حل خود من مثل hkh74 بود)
اینم لینکش:
آخرین ویرایش توسط مدیر
پاسخ : یه تابع خوشگل کمی تا حدی ایده دار :-؟؟
راه حلی که لینکشو گذاشتین در استقرا اشتباه داره. برای مثال از حالت n=1 نمی توان به n=2 رسید. (باید برای n>2 ثابت می شد)
راه هر دوتون خیلی قشنگ بود.خیلی خوب حلّیدین!
البته من یه اثبات دیگه هم از این راه حل یه جا دیده بودم براتون میذارم ولی نمیدونم کجای راهش غلطه!(روش حل خود من مثل hkh74 بود)
البته من یه اثبات دیگه هم از این راه حل یه جا دیده بودم براتون میذارم ولی نمیدونم کجای راهش غلطه!(روش حل خود من مثل hkh74 بود)
پاسخ : یه تابع خوشگل کمی تا حدی ایده دار :-؟؟
با این حال فکر می کنم در استقرا اشتباهی وجود داشته باشه:
ابتدا توجه کنید که اگر هر یک از متغیر ها را برابر صفر قرار دهیم (در رابطه ی اصلی) به یک رابطه ی بدیهی تبدیل می شود.
برای درستی
)
باید قرار دهیم: c=a و b=0 که به رابطه ای بدیهی می رسد، نه
=4g(a))
اگر اشکالی داشتم لطفا بگید
با این حال فکر می کنم در استقرا اشتباهی وجود داشته باشه:
ابتدا توجه کنید که اگر هر یک از متغیر ها را برابر صفر قرار دهیم (در رابطه ی اصلی) به یک رابطه ی بدیهی تبدیل می شود.
برای درستی
اگر اشکالی داشتم لطفا بگید
پاسخ : یه تابع خوشگل کمی تا حدی ایده دار :-؟؟
در استقرا از این استفاده کرده که حکم به ازای n=1 و n=0 درسته(که کاملا درسته)
اما برای نتیجه گرفتن درستی
)
از
)
راهی گفته که این راه برای n=2 اشتباه است.پس نمی توان از n=1 طبق این استقرا به n=2 رسید.
و واضح است که طبق هیچ استقرایی نمی توان این حکم را ثابت کرد. (چون حکم غلط است)
فک نکنم وقتی به یه رابطه بدیهی می رسیم،بشه نتیجه گرفت که
غلط باشه.شاید بشه از یه راه دیگه بهش رسید!
اما برای نتیجه گرفتن درستی
و واضح است که طبق هیچ استقرایی نمی توان این حکم را ثابت کرد. (چون حکم غلط است)