یه سوال از نامساوی

HatefS · 1389/10/18

کمترین مفدار k را بیابیید.

[center:be627d2472]

$x\sqrt y+y\sqrt z+z\sqrt x\leq k\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}$

[/center:be627d2472]

M_Sharifi · 1389/10/19

HatefS گفت

طبق نابرابری کوشی-شوارتز،

[center:0aa9fa7aef]

$\left(x\sqrt y+y\sqrt z+z\sqrt x\right)^2\leq\left(\sum xy\right)\left(\sum x\right)\leq\frac98 (x+y)(y+z)(z+x)$

بنابراین

$\min\{k\}=\frac{3\sqrt2}4$

که در حالت برابری x,y,z این مینیمم اتفاق می افتد.

[/center:0aa9fa7aef]