یه سوال نابرابری

Aref · 1389/8/27

a,b,c اعدادی حقیقی ومثبت اند و

$(a+b)(a+c)(b+c)=1$

ثابت کنید

$ab+ac+bc\le \dfrac{3}{4}$

mousavi · 1389/8/28

از این اتحاد استفاده کن

$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc$

M_Sharifi · 1389/8/29

به عنوان راه حل دوم میتونید از تغییر متغیر

$x=a+b,\ldots$

و در نهایت نابرابری شور استفاده کنید.

Aref · 1389/8/29

این سوال واسه داداشمه، اشتباهی با ID من گذاشتش. اینو قبلا خودم حل کردم:http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=2089960#p2089960

M_Sharifi · 1389/8/29

این هم یه راه:
فرض می کنیم

$ab+bc+ca>\frac34$

. در این صورت

$(a+b)(a+c)>a^2+\frac34$

و ... . در این صورت

[center:8ca0114d74]

$1=\prod (a+b)^2>\prod\left(a^2+\frac34\right)$

[/center:8ca0114d74]از طرفی

[center:8ca0114d74]

$\prod\left(a^2+\frac34\right)=\prod\left(a^2+\frac14+\frac12\right)\geq \prod\left(\frac a2+\frac b2+\frac12\right)\geq\prod\sqrt{a+b}=1$

که تناقض است.

[/center:8ca0114d74]