یه همرسی روی دایره

Aref · 1389/7/4

یه سوال جالب:

در مثلث

$ABC$

، نیمساز

$AD$

را امتداد می دهیم تا دایره ی محیطی مثلث

$ABC$

را در نقطه ی

$T$

قطع کند. نقطه ی دلخواه

$Y$

را روی پاره خط

$BD$

در نظر بگیرید. نقطه ی

$X$

را روی دایره ی محیطی مثلث

$ABC$

طوری در نظر بگیرید که:

$\widehat{TAX}=\widehat{TAY}$

. فرض کنید

$I$

مرکز دایره ی محاطی مثلث

$ABC$

باشد. وسط پاره خط

$IY$

را

$T^{\prime}$

در نظر بگیرید. ثابت کنید خطوط

$TT^{\prime}$

و

$IX$

روی دایره ی محیطی مثلث

$ABC$

همرسند.

hr_maleki · 1389/7/4

Aref گفت

یه سوال جالب:

در مثلث

$ABC$

، نیمساز

$AD$

را امتداد می دهیم تا دایره ی محیطی مثلث

$ABC$

را در نقطه ی

$T$

قطع کند. نقطه ی دلخواه

$Y$

را روی پاره خط

$BD$

در نظر بگیرید. نقطه ی

$X$

را روی دایره ی محیطی مثلث

$ABC$

طوری در نظر بگیرید که:

$\widehat{TAX}=\widehat{TAY}$

. فرض کنید

$I$

مرکز دایره ی محیطی مثلث

$ABC$

باشد. وسط پاره خط

$IY$

را

$T^{\prime}$

در نظر بگیرید. ثابت کنید خطوط

$TT^{\prime}$

و

$IX$

روی دایره ی محیطی مثلث

$ABC$

همرسند.

در صورت سؤال I، مرکز دایره ی محاطی است.

mrbayat · 1389/7/4

hr_maleki گفت

اشکال صورت سوال فقط اینه که I مرکز دایره محاطیه.

این سوال دوم IMO 2010 بوده.

راه حل:

محل تقاطع 'TT با AY را E می نامیم.حالا حکم مسئله با این هم ارز است که ثابت کنیم دو مثلث ATE و AXI متشابه اند.

لم: نقطه ی T وسط I Ia است.(Ia مرکز دایره محاطی خارجی رو به راس A است.)

پس مثلث ATE و AIaY متشابه اند. حالا ثابت می کنیم که دو مثلث AIaY و AXI متشابه اند.

طبق فرض که یک زاویه ی از این دو مثلث برابرند پس برای تشابه اثبات متناسب بودن دو ضلعشان می ماند.یعنی باید ثابت کنیم:

$\frac{AI}{AY}=\frac{AX}{AI_{a}} \Leftrightarrow AI\cdot AI_{a}=AX\cdot AY$

طبق تشابه دو مثلث ABI , ACIa می دانیم که

$AI\cdot AI_{a}=AB\cdot AC$

و طبق تشابه دو مثلث ABY , AXC می دانیم که

$AX\cdot AY=AB\cdot AC$

پس حکم مسئله صحیح است.

Aref · 1389/7/4

mrbayat گفت

hr_maleki گفت

اشکال صورت سوال فقط اینه که I مرکز دایره محاطیه.

این سوال دوم IMO 2010 بوده.

راه حل:

محل تقاطع 'TT با AY را E می نامیم.حالا حکم مسئله با این هم ارز است که ثابت کنیم دو مثلث ATE و AXI متشابه اند.

لم: نقطه ی T وسط I Ia است.(Ia مرکز دایره محاطی خارجی رو به راس A است.)

پس مثلث ATE و AIaY متشابه اند. حالا ثابت می کنیم که دو مثلث AIaY و AXI متشابه اند.

طبق فرض که دو زاویه از این دو مثلث متشابه اند پس برای تشابه اثبات متناسب بودن دو ضلعشان می ماند.یعنی باید ثابت کنیم:

$\frac{AI}{AY}=\frac{AX}{AI_{a}} \Leftrightarrow AI\cdot AI_{a}=AX\cdot AY$

طبق تشابه دو مثلث ABI , ACIa می دانیم که

$AI\cdot AI_{a}=AB\cdot AC$

و طبق تشابه دو مثلث ABY , AXC می دانیم که

$AX\cdot AY=AB\cdot AC$

پس حکم مسئله صحیح است.

مرسی درسته.
به جز اون قسمت قرمز که دو با یک باید عوض بشه.
تو راه حل من باید عکس حکم رو ثابت کنیم.

mrbayat · 1389/7/4

Aref گفت

mrbayat گفت

hr_maleki گفت

اشکال صورت سوال فقط اینه که I مرکز دایره محاطیه.

این سوال دوم IMO 2010 بوده.

راه حل:

محل تقاطع 'TT با AY را E می نامیم.حالا حکم مسئله با این هم ارز است که ثابت کنیم دو مثلث ATE و AXI متشابه اند.

لم: نقطه ی T وسط I Ia است.(Ia مرکز دایره محاطی خارجی رو به راس A است.)

پس مثلث ATE و AIaY متشابه اند. حالا ثابت می کنیم که دو مثلث AIaY و AXI متشابه اند.

طبق فرض که دو زاویه از این دو مثلث متشابه اند پس برای تشابه اثبات متناسب بودن دو ضلعشان می ماند.یعنی باید ثابت کنیم:

$\frac{AI}{AY}=\frac{AX}{AI_{a}} \Leftrightarrow AI\cdot AI_{a}=AX\cdot AY$

طبق تشابه دو مثلث ABI , ACIa می دانیم که

$AI\cdot AI_{a}=AB\cdot AC$

و طبق تشابه دو مثلث ABY , AXC می دانیم که

$AX\cdot AY=AB\cdot AC$

پس حکم مسئله صحیح است.

مرسی درسته.
به جز اون قسمت قرمز که دو با یک باید عوض بشه.
تو راه حل من باید عکس حکم رو ثابت کنیم.

منظورم همون یکی بود

Aref · 1389/7/4

راه حل من اینه:
XI را امتداد می دهیم تا دایره ی محیطی مثلث را در نقطه ی E قطع کند. فرض کنید که خط TE خط IY را در ''T قطع کند. نشان می دهیم که ''T وسط IY است:

R را محل تقاطع خطوط IY و TE و Q را محل برخورد دو خط TE و BC می نامیم. همچنین فرض میکنیم امتداد AY دایره ی محیطی مثلث را در 'Y قطع کند. ثابت می کنیم که 4 ضلعی IRYQ متوازی الاضلاع است.
4 ضلعی

$AIRE$

محاطی است زیرا:

$\widehat{REI}=\widehat{RAI}$

در نتیجه:

$\widehat{IRA}=\widehat{IEA}$

$\widehat{IEA}=\widehat{ABC}+\widehat{CAX}=\widehat{ABC}+\widehat{YAB}=\widehat{AYC}\Rightarrow \widehat{AYC}=\widehat{ARI}\Rightarrow IR\parallel QY$

برای اثبات توازی

$IQ, YR$

، نشان میدهیم:

$\widehat{QID}=\widehat{YAD}$

.

$\widehat{QID}=\widehat{DAY}\Leftrightarrow \widehat{QID}=\widehat{TEI}\Leftrightarrow \triangle TQI\sim \triangle TEI \Leftrightarrow TI^2=TQ.TE$

چهار ضلعی

$AEQD$

محاطی است زیرا:

$\widehat{EQB}=\widehat{EAB}+\widehat{TAC}=\widehat{EAB}+\widehat{CAT}=\widehat{EAD}$

.
پس:

$TE.TQ=TD.TA$

. حالا کافیه که ثابت بشه:

$TI^2=TD.TQ$

$TA=TB=TC$

$\triangle TBD \sim \triangle TBA \Rightarrow TB^2=TD.TA$

حالا چون دو قطر متوازی الاضلاع همدیگرو نصف میکنن پس ''T همون 'T هستش.(این دو نقطه باید بر هم منطبق باشند) پس حکم ثابت شد.

hr_maleki · 1389/7/5

راه حل زیبایی بود.

یه همرسی روی دایره

Aref

New Member

hr_maleki

New Member

mrbayat

New Member

Aref

New Member

mrbayat

New Member

Aref

New Member

hr_maleki

New Member