یک سوال از استقرا

moh_no · 1389/7/18

[font=Calibri,sans-serif]با استقرای ریاضی به ازای هر عدد طبیعی n ثابت کنید:[/font]

[LEFT ALIGN=RIGHT]1+cos x + cos 2x + … + cos nx = 1/2+ (sin (n+1/2) x)/2*sin(x/2)[/LEFT ALIGN]
[LEFT ALIGN=RIGHT]لطفا اینو حل کنید ![/LEFT ALIGN]
[LEFT ALIGN=RIGHT]من باید اینو فردا تحویل بدهم!![/LEFT ALIGN]

AidinT · 1389/7/18

$1+cos\; x + cos \; 2x + ... + cos\; nx = \frac{1}{2} + \frac{(sin (n+\frac{1}{2}) x)}{2}*sin(\frac{x}{2})$

این حتی واسه n=1 هم درست نیست، چه برسه به هر عدد طبیعی!
صورت سوال رو اشتباه نوشتی فکر کنم!

moh_no · 1389/7/18

راست می گی!
صورت سوال اینه:

1+cos x + cos 2x + … + cos nx = 1/2+ (sin (n+1/2) x)/ (2*sin(x/2))<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com

ffice

ffice" /><o

></o

>

M_Sharifi · 1389/7/18

برای رسیدن از فرض به حکم استقرا باید ثابت کنیم

[center:6d3dcd387d]

$\frac{\sin\left(\left(n+\frac12 \right )x\right)}{2\sin(\frac x2)}+\cos((n+1)x)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac32 \right )x\right)}{2\sin(\frac x2)}$

حالا کافیه دقت کنید که طبق فرمول

$2\sin\alpha\cos\beta=\sin(\alpha+\beta)-\sin(\beta-\alpha)$

داریم

[/center:6d3dcd387d][center:6d3dcd387d]

$\cos((n+1)x)=\frac{2\sin(\frac x2)\cos((n+1)x)}{2\sin(\frac x2)}=\frac{\sin\left(\left(n+\frac32 \right )x\right)-\sin\left(\left(n+\frac12 \right )x\right)}{2\sin(\frac x2)}$

[/center:6d3dcd387d]

AidinT · 1389/7/18

از این سایت برای ساخت علامات ریاضی استفاده کنید:
latex

$1+cos\; x + cos\; 2x + ... + cos \; nx = \frac{1}{2}+ \frac{(sin (n+\frac{1}{2})\; x)}{ (2*sin(\frac{x}{2}))}$

منم یه راه حل دیگه دارم که سرش جون دادم

یعنی دیگه 40 50 صفحه A4 راه حل رفتم تا یه راه حل خوب پیدا کردم!

حالا می نویسمش، شاید مورد استفاده قرار بگیره:
فرض برای n=1 برقراره چون:

$\frac{1}{2} + \frac{sin\; (1+\frac{1}{2})\; x}{2 * sin \; \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}+\frac{sin\; x.cos\; \frac{x}{2} + sin\; \frac{x}{2}.cos\; x}{2*sin\; \frac{x}{2}}$

$=\frac{1}{2} + \frac{2*sin\; \frac{x}{2}.cos\; \frac{x}{2}.cos\; \frac{x}{2}}{2*sin\; \frac{x}{2}} + \frac{sin\; \frac{x}{2}.cos\; x}{2*sin\; \frac{x}{2}} = cos^2 \; \frac{x}{2}+ \frac{1 + cos\; x}{2} = 2 cos^2 \; \frac{x}{2}$

$2cos^2 \; \frac{x}{2} = 1 + cos \; x$

حالا فرض می کنیم عبارت برای n درست باشه، ثابت می کنیم برای n+1 هم درسته! می دونیم که :

$(\frac{1}{2}+ \frac{(sin (n+1+\frac{1}{2})\; x)}{ (2*sin(\frac{x}{2}))} ) - (\frac{1}{2}+ \frac{(sin (n+\frac{1}{2})\; x)}{ (2*sin(\frac{x}{2}))} ) = cos\; (n+1)x$

$\rightarrow ( \frac{(sin ((n+1)x+\frac{x}{2}))}{ (2*sin(\frac{x}{2}))} ) - ( \frac{(sin (nx+\frac{x}{2}))}{ (2*sin(\frac{x}{2}))} ) = cos\; (n+1)x$

$\rightarrow \frac{sin\; (n+1)x.cos\; \frac{x}{2} +sin \; \frac{x}{2}.cos\; (n+1)x - sin\; (n)x.cos\; \frac{x}{2}-sin \; \frac{x}{2}.cos\; (n)x }{2*sin\; \frac{x}{2}}$

$\rightarrow \frac{cos\; \frac{x}{2}(sin\; (n+1)x- sin\; (n)x ) +sin \; \frac{x}{2}(cos\; (n+1)x-cos\; (n)x) }{2*sin\; \frac{x}{2}}$

$= \frac{cos\; \frac{x}{2}(sin\; (n+1)x- sin\; (n)x )}{2*sin\; \frac{x}{2}} +\frac{ sin \; \frac{x}{2}(cos\; (n+1)x-cos\; (n)x) }{2*sin\; \frac{x}{2}}$

$= \frac{cos\; \frac{x}{2}(sin\; (n+1)x- sin\; (n)x )}{2*sin\; \frac{x}{2}} +\frac{1}{2}(cos\; (n+1)x-cos\; (n)x)$

می خواهیم ثابت کنیم عبارت بالا برابر است با cos(n+1)x پس کافی است ثابت کنیم:

$= \frac{cos\; \frac{x}{2}(sin\; (n+1)x- sin\; (n)x )}{2*sin\; \frac{x}{2}} =\frac{1}{2}(cos\; (n+1)x+cos\; (n)x)$

$\rightarrow {cos\; \frac{x}{2}(sin\; (n+1)x- sin\; (n)x )} =sin\; \frac{x}{2}(cos\; (n+1)x+cos\; (n)x)$

حالا کافی است ثابت کنیم دو طرف تساوی با هم برابرند:

$\rightarrow cos\; \frac{x}{2}.sin\; (n+1)x- cos\; \frac{x}{2}.sin\; (n)x = sin\; \frac{x}{2}.cos\; (n+1)x+sin\; \frac{x}{2}.cos\; (n)x$

حالا عبارات شبیه هم رو به یه طرف می بریم:

$\rightarrow cos\; \frac{x}{2}.sin\; (n+1)x-sin\; \frac{x}{2}.cos\; (n+1)x = sin\; \frac{x}{2}.cos\; (n)x+cos\; \frac{x}{2}.sin\; (n)x$

$\rightarrow sin\; (nx+x-\frac{x}{2}) = sin(nx+\frac{x}{2})$

عبارت بالا هم برقراره، در نتیجه، ما فرض رو ثابت کردیم و استقرا کامل شد و حالا چیزی که می خواستیم رو داریم.

مردم....

یک سوال از استقرا

moh_no

Member

AidinT

New Member

moh_no

Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

AidinT

New Member