یک سوال ترکیبیات

[mathsmart]

به چند طریق می توان 7 سیب یکسان را بین چهار نفر تقسیم کرد بطوری که لازم نباشد به همه سیب برسد؟
حل:با توجه به یکسان بودن سیبها فقط تعداد سیبهایی که به هر کس می رسد مهم است و پاسخ این مثال برابر است با تعداد جوابهای معادله

در مجموعه اعداد صحیح نامنفی که در ان

برابر تعداد سیب هایی است که به نفر iام می رسد.


جواب:

من قسمت قرمز رو متوجه نمیشم مثلا اگر سه تا سیب کال داشتیم چهار تا سیب له شده (سیب های متمایز)و می خواستیم این سیب ها را بین چهار نفر تقسیم کنیم به طوری که لازم نباشه به همه سیب بزسه(چه سیب کال و چه سیب له شده)اونوقت جواب چی می شد؟

 

[sima98]

پاسخ : یک سوال ترکیبیات

خب اون وقت:
تعداد جوابای این دوتا معادله رو در هم ضرب بکنی.
x1+x2+x3+x4=4
x1+x2+x3+x4=3
:217:

 

[mathsmart]

پاسخ : یک سوال ترکیبیات

خب اون وقت:
تعداد جوابای این دوتا معادله رو در هم ضرب بکنی.
x1+x2+x3+x4=4
x1+x2+x3+x4=3
:217:

سلام مطمئنین باید این کارو بکنیم

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

خب اون وقت:
تعداد جوابای این دوتا معادله رو در هم ضرب بکنی.
x1+x2+x3+x4=4
x1+x2+x3+x4=3
:217:

من هم اولش فکر شما رو می کردم ولی این جمله قرمزه رو که دیدم کلا گیج شدم

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سلام دوستان می خواستم بگم مشکلم حل شد.از همتون ممنونم.

 

[sima98]

پاسخ : یک سوال ترکیبیات

حالا جواب چیه؟

 

[Al!R3ZA]

پاسخ : یک سوال ترکیبیات

بذار یه مثال بزنم متوجه شی
شما 7 تا حرف داری میخوای باهاشون کلمه بسازی. به چند طریق میتونی؟
خوب مسلماً به 7! طریق.
حالا اگه مثلاً دوتاحرفت یکسان باشه ، اون موقع تقسیم بر یه 2! باید بکنی.
یا در حالت کلی اگه k تا حرفت یکسان باشه، باید تقسیم بر یه k! بکنی.
حالا اینجا هم همینه. چون بین سیبا هیچ فرقی نداره ، اگه تو سیب اول و دومو بدی نفر اول ، با سیب مثلاً ششم و هفتم ، تو این دو تا حالت هیچ تفاوتی وجود نداره و به اصطلاح حالت زائده که باید از کل حالات کم کنی تا به حالت مطلوب برسی.
اما اگه سیبا متفاوت بودن، اینکه کدوم سیب رو به کی میدادی هم مهم بود !
برای قسمت بعدی سوالتم مساله رو با اصل ضرب حل میکنیم !
یعنی مساله رو دو بخش میکنیم یکی تقسیم سیبای کال ، و یکی تقسیم سیبای له شده !
دوباره راه بالارو برای هر قسمت تکرار میکنیم و در آخر حاصل رو بینشون ضرب میکنیم.
اما اگه منظورت اینه که اگه تموم سیبا متمایز باشن، اون موقع به هر سیبی میشه 4 نفر رو نسبت داد و جواب میشه 4[SUP]7
[/SUP]امیدوارم منظورو رسونده باشم

 

[Yousefi]

پاسخ : یک سوال ترکیبیات

[MENTION=8740]Al!R3ZA[/MENTION] :
7 نه و !7 !!!

این بحث،تعداد جواب های معادله سیاله هست.
دقت کنید: فرض کنید 3 تا سیب کال و 4 تا سیب گندیده داریم ( :| ) می خوایم اینارو بین 4 نفر تقسیم کنیم، به طوری که لزوما به هر کس سیبی نرسه. قبول دارید اگه این مساله رو حل کنیم که : "7 تا سیب کال و 8 تا سیب گندیده رو میخوایم بین 4 نفر تقسیم کنیم که لزوما به هر نفر، یک کال برسه یه رسیده" جواباش با مساله ی اول برابره؟ چون بعد از تقسیم از هر نفر یک سیب گندیده می گیریم، یک سیب کال. خب: این مساله یعنی:

x1 + x2 + x3 + x4 = 7 (سیبای کال) توی اعداد طبیعی
y1 + y2 + y3 + y4 = 8 (سیبای گندیده) توی اعداد طبیعی

ها 7 تا سیب رو این شکلک ها در نظر بگیرید : :124: |:124: :124: | :124: :124: | :124:
خب می خوایم 3 تا چوب بین اینا بگذاریم، تا به 4 قسمت تقسیم شه. برای چوب اول 5 حالت، چوب دوم 4 حالت و چوب سوم 3 حالت، خب حالا از هر دسته ی ایجاد شده، یک سیب بر می داریم.
به جواب رسیدیم. برای سیبای گندیده هم به همین شکل عمل میشه و جوابا تو هم ضرب میشن.

به طور کلی، تعداد جواب معادله ی x1+x2+...+xk = n در اعدادِ طبیعی میشه : انتخاب k - 1 از n - 1 (چرا؟)
حالا اگه مثلا مساله گفت تعداد جواب های همین معادله توی اعداد صحیح نامنفی، این یعنی xi >= 0 اگه به دو طرف 1 اضافه کنیم، برای هر i. میشه همون معادله توی اعداد طبیعی: (x1+1) + (x2+1) + ... + (xk + 1) = یا n + k : پس مثل بالایی تعداد جواب ها میشه: انتخاب k - 1 از n + k - 1.

 

[sima98]

پاسخ : یک سوال ترکیبیات

خب یعنی جوابی که من نوشته بودم درست بود؟

 

[Yousefi]

پاسخ : یک سوال ترکیبیات

خب یعنی جوابی که من نوشته بودم درست بود؟

بله، ولی باید می گفتید در اعداد صحیح نامنفی تعداد جواب ها رو تو هم ضرب کنید.