▬ فیتیلستان ریاضی (4) - 7 آذر 1393 ▬

IRYSC-team · 1393/9/7

سلام دوستان گرامی،
چهارمین مسابقه‌ی فیتیلستان ریاضی از امروز آغاز شده و تا صبح جمعه‌ی هفته‌ی آینده (14 آذر) ادامه دارد. برای آشنایی با مسابقه و جوایز آن به اینجا بروید.

در این دور از مسابقه هر کاربر فقط یک بار می‌تواند پاسخ سوال داده شده را در ادامه‌ی تاپیک بنویسد و در پایان 10 مسابقه‌، همه‌ی جواب‌ها به همراه امتیازهای تعلق گرفته به آن‌ها منتشر خواهد شد. فقط 7 هفته‌ی دیگر، برندگان سری اول فیتیلستان ریاضی معرفی می‌شوند و جوایز ایشان اهدا خواهد شد.

[HR][/HR]سوال فیتیلستان 4 ریاضی

بخش اول (هندسه)

نسبت مساحت مربع محاط در یک دایره به مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع محاط در همان دایره چه‌قدر است؟ (با راه حل)

-=-=-=-=-=-=-=--=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=--=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=--=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=--=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=--=-

بخش دوم (ترکیبیات)

مجموع محیط همه‌ی مربع‌های موجود در یک مربع 16 در 16 برابر چند است؟ (با راه حل)

طراح سوالات این مسابقه: مهدی تفرشی - میثم اسکندری

[HR][/HR]بهتر است با دلایل کافی، توضیح هر بخش را بنویسید و در صورت نیاز به محاسبه، آن را نیز همین‌جا وارد کنید. دو بخش فرمول نویس (Fx در ادیتور) و آپلودسنتر آیریسک برای گویا و زیبا نوشتن پاسخ‌ها به شما کمک خواهند کرد.

AHZolfaghari · 1393/9/7

پاسخ : ▬ فیتیلستان ریاضی (4) - 7 آذر 1393 ▬

IRYSC-team گفت

برای سوال اول :
قطر مربع میشه قطر دایره چون زاویه ABC =90 . پس AC , BD قطر هستند . پس اگه شعاع دایره روR بگیریم قطرش 2R میشه و ضلع مربع

$R\sqrt{2}$

پس مساحتش میشه

$2R^2$

حالا برای مثلث متساوی الاضلاع طبق قضیه سینوس ها داریم

$\frac{AB}{sin 60}=2R$

پس

$AB = 2R . \frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}$

;

$S = AB^2 . sin 60 = 3R^2 \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$

که در اینجا منظور از S دوبرابر مساحت مثلث هست .
حالا نسبت مساحت مربع به مثلث میشه

$\frac{S_1}{S_2}=\frac{2R^2}{\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2}=\frac{8}{3\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{9}$

برای سوال دوم :
256 تا مربع یک در یک داریم که هریک محیط 4 دارند . 225 تا مربع دو در دو داریم که هریک محیط 8 دارند . 196 مربع سه در سه که محیط 9 و ... و 4 تا مربع 15 در 15 که محیط 60 دارند و 1 مربع 16در16 که محیط 64 دارند.
در واقع این مجموع رو باید حساب کنیم :

$4(\sum i^2(17-i))$

به ازای i های از 1 تا 16 .

$4(i^2(17-i))+4((17-i)^2i)=4(i)(17-i)(17)=4(289i-17i^2)$

که کافیست برای i از تا 8 این مجموع را حساب کنیم .

$4(289(1+2+3+4+5+6+8))=289\times 4\times36$

$4(7(1^2+2^2+...+8^2))=68\times 204$

پس جواب مساله برابر

$289\times 4\times 36-68\times 204=68(36\times 17-204)=68(408)=27744$

می باشد .

AHZolfaghari · 1393/9/7

پاسخ : ▬ فیتیلستان ریاضی (4) - 7 آذر 1393 ▬

IRYSC-team گفت

برای سوال اول :قطر مربع میشه قطر دایره چون زاویه ABC =90 . پس AC , BD قطر هستند . پس اگه شعاع دایره روR بگیریم قطرش 2R میشه و ضلع مربع

$R\sqrt{2}$

پس مساحتش میشه

$2R^2$

حالا برای مثلث متساوی الاضلاع طبق قضیه سینوس ها داریم

$\frac{AB}{sin 60}=2R$

پس

$AB = 2R . \frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}$

;

$S = AB^2 . sin 60 = 3R^2 \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$

که در اینجا منظور از S دوبرابر مساحت مثلث هست .حالا نسبت مساحت مربع به مثلث میشه

$\frac{S_1}{S_2}=\frac{2R^2}{\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2}=\frac{8}{3\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{9}$

برای سوال دوم :256 تا مربع یک در یک داریم که هریک محیط 4 دارند . 225 تا مربع دو در دو داریم که هریک محیط 8 دارند . 196 مربع سه در سه که محیط 9 و ... و 4 تا مربع 15 در 15 که محیط 60 دارند و 1 مربع 16در16 که محیط 64 دارند.در واقع این مجموع رو باید حساب کنیم :

$4(\sum i^2(17-i))$

به ازای i های از 1 تا 16 .

$4(i^2(17-i))+4((17-i)^2i)=4(i)(17-i)(17)=4(289i-17i^2)$

که کافیست برای i از تا 8 این مجموع را حساب کنیم .

$4(289(1+2+3+4+5+6+8))=289\times 4\times36$

$4(7(1^2+2^2+...+8^2))=68\times 204$

پس جواب مساله برابر

$289\times 4\times 36-68\times 204=68(36\times 17-204)=68(408)=27744$

می باشد .

▬ فیتیلستان ریاضی (4) - 7 آذر 1393 ▬

سطح سوال این مسابقه برای شما چگونه بود؟

ساده و آسان (آب خوردن)

مشکل و فیتیله‌ای

IRYSC-team

مدیر آیریسک

AHZolfaghari

Well-Known Member

AHZolfaghari

Well-Known Member