6 نقطه

[IsaacNewton]

6 نقطه در صفحه اي مفروض اند به طوري كه هيچ سه تاي آنها همخط نيستند.
فرض ميكنيم هر پاره خطي كه يك زوج از اين نقاط را به هم وصل ميكند بايكي از دو رنگ ، مثلا قرمز يا سفيد رنگ ميشود. ثابت كنيد از هر پيكر بندي رنگ ها كه استفاده شود ، هميشه حداقل دو مثلث رنگي، يعني دو مثلث كه هر سه ضلع آن داراي يك رنگ اند وجود دارند.(لازم نيست كه هر دو مثلث هم رنگ باشند، ممكن است يك مثلث رنگي قرمز و ديگري سفيد باشد)

 

[Olympiad]

فكر كنم قضيه ي توران بايد باشه

 

[IsaacNewton]

توران يك اصله و به درد اين مسئله نميخوره.

 

[Amouzegar]

با اصل لانه کبوتری حل می شه

 

[IsaacNewton]

اين مسئله راه حل خاصي نداره.بايد براي حل ايده ي جديدي را براي حل استفاده كنيد.
براي حل بايد راه هاي مختلف و حالت هاي مختلف رو بشماريد.مثلا بايد براي هر خط به وجود آمده حالت هاي مختلف رو برسي كنيد.

 

[Amouzegar]

اگه اشتباه نکنم این سوال تو کتاب ترکیبیات زرده ی دکتر علیپور، فصل 7ش، با لانه کبوتری حل شده.اگه 17 نقطه داشته باشیم، می شه چهار ضلعی
تک رنگ هم پیدا کرد.
برای مثلث با 6 راس باید بگیم از یک راس سه پاره خط همرنگ خارج می شه و ...

 

[IsaacNewton]

شايد.ولي اين سوال مال المپياد مرحله دوم 10 قرن پيش لينگراد هستش.
توي پاسخ نامه ي تشريحي كه توي كتاب 3000مسئله رياضي مال L.TRANSE نويسنده ي روسي حالت هاي مختلف سوال رو شمرده بود.اصلا از راه حل تركيبياتي استفاده نكرده بود.
جوابشو ميذارم.

 

[Amouzegar]

جالبه.اگر جوابشو بذارید ممنون می شم.راستی یه اشتباهی کردم؛ اصل لانه کبوتری تو اون کتاب فصل 7 نیست، فصل 5 هست.

 

[IsaacNewton]

جواب:
فرض كنيم نقاط را با F,E,D,C,B,A نشان ميدهيم.ميتوان فرض كرد كه مثلا مثلث ABC رنگي قرمز است.اگر DEF رنگي نباشد در نتيجه يك ضلع مثلا DE سفيد است.اگر ADE رنگي نباشد ، حداقل يكي از اضلاع AD, AE قرمز است.همين طور اگر BDE,CDE رنگي نباشند،حداقل يكي از اضلاع BD,BE و CD,CE قرمز هستند.بنابر اين حداقل دو تا از AD,BD,CD قرمز و يا حداقل دو تا از AE,BE,CE قرمز هستند.بايد در حالت اول مثلث هاي ABD,ACD,BCD و در حالت دوم مثلث هاي ABE,ACE,BCE رادر نظر بگيريم و حالت ها را بشماريم.

 

[Amouzegar]

اینم تقریبا شبیه استدلال دکتر علیپوره.ممنون که گذاشتید جوابو