60) حل معادله توانی

h-amir · 1389/10/13

معادله زیر در مجموعه اعداد صحیح حل کنید.
2[SUP]n+1[/SUP]=n*2[SUP]n-1[/SUP]+n+2

mahdisaj · 1389/10/13

تنها جواب مسیله 2 است

rezashiri · 1389/10/13

mahdisaj گفت

نه دو تا جواب دیگه ام داره : 0 و 1

AidinT · 1389/10/13

از صورت مسئله می شه اینگونه نتیجه گرفت:

$(4-n)(2^{n-1}+1) = 6$

که این هم به ازای n=2 و n=1 برقراره. ولی اگه داشته باشیم n <=0 در این صورت می تونیم اینطوری بنویسیم:

$(\frac{4-n}{2^{-n+1}})(2^{-n+1}+1) = 6 \Rightarrow 2^{-n+1}\mid 4-n\Rightarrow 2^{-n+1} \leq 4-n$

می شه با استقرا ثابت کرد برای n<-1 نامساوی زیر برقراره:

$2^{-n+1} + n > 4 \Rightarrow 2^{-n+1} > 4-n$

پس کافیه حالت های n = 0 و n = -1 رو بررسی کنیم که از بررسی اونها فقط n = 0 برقراره. پس در کل 3 جواب
n=2
n=1
n=0