a/(b+2)+b/(c+2)+c/(a+2)<=1

M_Sharifi · 1389/2/18

یه سوال:
فرض کنید اعدادی حقیقی و نامنفی اند و

$شa^2+b^2+c^2=3$

. بدون استفاده از روش لاگرانژ، ثابت کنید

[center:3f66135f67]

$\frac a{b+2}+\frac b{c+2}+\frac c{a+2}\leq1$

[/center:3f66135f67]

Olympiad · 1389/2/19

يه راهنمايي كوچك كنيد ....

M_Sharifi · 1389/2/20

Olympiad گفت

نابرابری رو بسط بدبد.

Olympiad · 1389/2/20

يه بار نشد درست ....

M_Sharifi · 1389/2/20

Olympiad گفت

نه. با اثبات اون نابرابری مسئله حکم مسئله به دست نمیاد.

mohammad2004 · 1389/2/20

برای اثبات

سمت چپو توی a+b+c ضرب میکنیم و از اونجایی که a+b+c کمتر یا مساوی 3 هست به جای سمت راست میذاریم

حالا عبارتو باز میکنیم . باید ثابت کنیم :

این که بدیهیه.

اینم طبق نابرابری vasile که خودتون یه بار نوشتین درسته

M_Sharifi · 1389/2/20

mohammad2004 گفت

برای اثبات

سمت چپو توی a+b+c ضرب میکنیم و از اونجایی که a+b+c کمتر یا مساوی 3 هست به جای سمت راست میذاریم

حالا عبارتو باز میکنیم . باید ثابت کنیم :

این که بدیهیه.

اینم طبق نابرابری vasile که خودتون یه بار نوشتین درسته

درست نیست. چون یه نابرابری ضعیف تر رو اثبات کردی.

M_Sharifi · 1389/2/20

Olympiad گفت

به هر حال شما سال اول هستید و انتظار نمی رفت که بتونید حلش کنید، چون این نابرابری توی قسمت جبر ممتاز مطرح شده.

M_Sharifi · 1389/2/23

راه حل. پس از بسط دادن، حکم مسئله به صورت

$ab^2+bc^2+ca^2\leq2+abc$

در می آید. فرض می کنیم

$b$

عدد وسط در میان

$a,b,c$

باشد. در این صورت

[center:87637dbdd6]

$a(b-a)(b-c)\leq0\Rightarrow ab^2+ca^2\leq a^2b+abc$

بنابراین کافی است ثابت کنیم

$a^2b+bc^2\leq2$

. داریم

$\left a^2b+bc^2\leq2\iff b(a^2+c^2)\leq2\iff b(3-b^2)\leq2\iff (b-1)^2(b+2)\geq0\right$

شرط تساوی :

$(a,b,c)=(1,1,1)$

یا

$(a,b,c)=(0,1,\sqrt2)$

.

[/center:87637dbdd6]

shoki · 1389/7/23

با uvw هم حل می شه ... فقط یک کمی کار داره

اگر احتیاج به توضیح هست بگید ...

a/(b+2)+b/(c+2)+c/(a+2)<=1

M_Sharifi

راهبر ریاضی

Olympiad

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

Olympiad

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mohammad2004

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

M_Sharifi

راهبر ریاضی

M_Sharifi

راهبر ریاضی

shoki

New Member