a1,a2,...,an اعدادي مثبت هستند ....

Olympiad · 1389/2/19

$a_1,a_2,...,a_n$

اعدادي مثبت با مجموع 1 اند . مينيمم حاصل عبارت زير را بيابيد :
[center:da0c7dba4e]

$\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{\sqrt{1-a_i}}$

[/center:da0c7dba4e]

Olympiad · 1389/2/20

خودم حل كردم !!!
تابع

$f$

را اينگونه تعريف مي كنيم :

$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x}}$

و بعدش هم با نامساوي ينسن به راحتي حل ميشه...

M_Sharifi · 1389/2/20

طبق نابرابری هولدر، داریم

[center:1332bbe98e]

$\left(\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{\sqrt{1-a_i}}\right)^2\left(\sum_{i=1}^na_i(1-a_i)\right)\geq\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^3=1$

از طرفی

$\sum_{i=1}^na_i(1-a_i)=1-\sum_{i=1}^na_i^2=n-1\leq1-\frac{(\sum_{i=1}^na_i)^2}n=\frac{n-1}n$

[/center:1332bbe98e]
بنابراین حداقل عبارت مسئله برابر

$\sqrt{\frac n{n-1}}$

است و به ازای

$a_1=a_2=\cdots=a_n=\frac1n$

این حداقل به دست می آید.