a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n<=a_1+a_2+...+a_k

M_Sharifi · 1389/2/12

یه سوال:
فرض کنید

$a_1,a_2,\ldots,a_n$

اعدادی حقیقی و دلخواه و

$b_1,b_2,\ldots,b_n$

اعدادی حقیقی اند که

$1\geq b_1\geq b_2\geq\cdots\geq b_n\geq0$

.ثابت کنید عدد طبیعی

$k\leq n$

وجود دارد که

[center:ccec2ad08e]

$|a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n|\leq|a_1+a_2+\cdots+a_k|$

[/center:ccec2ad08e]

mohammad_72 · 1389/2/12

فرض میکنیم b_1=1 (اگه نباشه b_i ها رو در معکوس b_1 ضرب میکنیم . واضحه که حکم جدید قویتره)
حالا از اتحاد :

$a_1b_1+a_2b_2+...+a_{n}b_{n}=(a_1)(b_n)+(a_1+a_2)(b_{n-1}-b_{n})+...+(a_1+...+a_k)(b_{n-k+1}-b_{n-k+2})+...+(a_1+...+a_n)(b_{1}-b_{2})$

حکم راحت نتیجه میشه !